Physikalisches Modell für ein PbeM-Universum

[McWire]

zunächst einmal ist die relativistische Massenzunahme eine veraltete Terminologie. In der modernen Sprechweise sagt man nur noch, dass die Energie bei v->c gegen unendlich geht, der Massebegriff wird nur noch für die Ruhmasse benutzt, d.h. die Masse bleibt unverändert.

Zum zweiten tritt die Massenzunahme, wenn man denn die alte Sprechweise verwenden will, dann auf, wenn die Geschwindigkeit zunimmt. Dann aber nehmen ohnehin auch Energie und Impuls zu, und die Frage nach deren Konstanz stellt sich erst gar nicht.

das hat zum Glück schon der gute Herr Einstein für uns erledigt.

Quelle der Gravitation ist in der ART nicht die Masse - egal ob Ruhmasse oder dynamische Masse - sondern der Energie-Impuls-Tensor.

ich denke, in der ART lässt sich zeigen, dass dem nicht so ist. Es ist zwar so, dass die ART bestimmte Verletzungen des Energieerhaltungssatzes zulässt, wenn die Metrik zeitabhängig ist (nach dem Nöther-Theorem hängt die Energieerhaltung mit der Homogenität der Zeit zusammen, gerade die ist aber bei zeitabhängiger Metrik nicht gegeben), das ist aber eher nur in kosmologischen Modellen und im Inneren von schwarzen Löchern relevant.

das fällt in die Kategorie kosmologische Modelle mit zeitabhängiger Metrik.
Die hier dargestellte Metrik, mit einem von der 5. Koordinate h abhängigen metrischen Tensor, ist zeitunabhängig.

wer die ART kennt, der weiß


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Agent Scullie schrieb nach 2 Minuten und 53 Sekunden:

vom Normalraum aus, ja.

die einzelnen Teile des Raumschiffes müssen natürlich alle einen Geschwindigkeitsvektor in die gleiche Richtung haben.

Ich habe mir mal folgendes überlegt:

Wir haben ein Raumschiff welches zu 90% aus Materie und 10% aus Antimaterie besteht (vereinfachtes Modell eines Sternenflottenraumschiff).
Während eines Fluges mit konstanter Geschwindigkeit wird nun 20% der Gesamtruhemasse in Energie umgwandelt. Natürlich bleibt in der Summe Energie und Masse gleiche, da beide nach E=mc² zueinander äquivalent sind.

Würde man jetzt diese Energie abstrahlen, würde man den Impuls des Raumschiff ändern, also eine Beschleunigung verursachen.
Da v² größer wird, müsste die kinetische Energie zunehmen, da aber m kleiner wird, müsste gleichzeitig die kinetische Energie abnehmen.
Beim Impuls das gleiche Spiel, da v zunimmt müsste Impuls mehr werden, da aber m abnimmt müsste Impuls auch abnehmen.

Im Falle der Photonenabstrahlung dürfte es keine Widersprüche geben, da Photonen auch ohne Ruhemasse einen Impuls und eine kinetische Energie haben können, die sie vom Raumschiff weg transportieren, wobei dann wohl E=(p*c) gilt.

Richtig interessant wird es aber erst dann, wenn man die Energie der M/AM-Reaktion in Form einer impulslosen Energieform abgeben könnte, da dann ein Widerspruch zwischen Energieerhaltung udn Impulserhaltung entstünde.
Wenn beide Erhaltungsgrößen geben sein sollen, darf es keine impulslose Energieübertragung geben, somit kann es auch keine trägheitsfreie Energieübertragung geben.

[Agent Scullie]

Rechnen wir das mal durch:

das Raumschiff habe anfänglich den Impuls p1, die Energie E1 und die Ruhmasse m1. Dann stößt es EM-Strahlung mit der Energie E_rad und dem Impuls p_rad aus, dabei ändere sich die Energie des Raumschiffs zu E2, der Impuls zu p2, und die Ruhmasse zu m2, wobei m2 um 20% gegenüber m1 vermindert sei, also m2 = 0.8 m1. Aus Energie- und Impulserhaltung folgt:

p1 = p2 + p_rad
E1 = E2 + E_rad

Nach der relatvistischen Energie-Impuls-Beziehung gilt außerdem (im folgenden sei mit c=1 gerechnet)

E1 = sqrt( m1^2 + p1^2 )
E2 = sqrt( m2^2 + p2^2 )
E_rad = -p_rad

Zur Vereinfachung gehen wir in ein Bezugssystem, in dem das Raumschiff vor dem Ausstoß ruht, so dass p1 = 0. Dann erhalten wir

E1 = m1
p_rad + p2 = 0 <=> p_rad = -p2

Die Energieerhaltung wird damit zu:

m1 = -p_rad + sqrt( m2^2 + p2^2 )
= p2 + sqrt( m2^2 + p2^2 )
<=> m1 + p2 = sqrt( m2^2 + p2^2 )

Beide Seiten quadrieren:

m1^2 + p2^2 + 2 m1 p2 = m2^2 + p2^2
<=> m1^2 + 2 m1 p2 = m2^2

Mit m2 = 0.8 m1 <=> m2^2 = 0.64 m1^2 wird daraus

m1^2 + 2 m1 p2 = 0.64 m1^2
<=> m1 ( 0.36 m1 + 2 p2 ) = 0
<=> p2 = 0.18 m1

Damit erhalten wir p_rad = -p2 = -0.18 m1, und damit E_rad = -p_rad = 0.18 m1, bzw. wenn wir c wieder berücksichtigen:

E_rad = 0.18 m1 c^2

Das bedeutet, von den 20% von der Ruhmasse m1, die in Energie umgewandelt werden, werden 18% in die Energie der ausgestoßenen Strahlung gesteckt. Die übrigen 2% kommen der kinetischen Energie des Raumschiffes zugute:

E2 = sqrt( 0.64 m1^2 + 0.18^2 m1^2 ) = 0.82 m1
=> E_kin_2 = E2 - m2 = E2 - 0.8 m1 = 0.02 m1

Betrachtet man das ganze in einem Bezugssystem, in dem das Raumschiff einen Ausgangsimpuls p1 > 0 hat, ist die Rechnung komplizierter, man kann sich aber folgendes klarmachen: der Impuls wird größer: p1 -> p2 > p1, die Gesamtenergie wird kleiner E1 -> E2 < E1, aber in weniger starkem Maße als die Ruhmasse, d.h. E2/m2 > E1/m1, der kinetische Energieanteil E - mc^2 wird daher größer: E2 - m2 < E1 - m1.

Edit: die Verhältnisse in so einem Bezugssystem mit p1 > 0 kann man einfach dadurch ersehen, dass man aus dem betrachteten System S, in dem p1 = 0 ist, in ein relativ dazu mit der Geschwindigkeit -v bewegtes System S' lorentz-transformiert. Dort hat das Schiff dann die Ausgangsgeschwindigkeit +v. Für die Energien vor und nach dem Strahlungssausstoß gelten in S' (wieder mit c=1):

E1' = 1/sqrt(1-v^2) E1 = 1/sqrt(1-v^2) m1
E2' = 1/sqrt(1-v^2) (E2 + p2 v) = 1/sqrt(1-v^2) ( sqrt(m2^2 + p2^2) + p2 v )

und damit für deren Verhältnis

E2'/E1' = ( sqrt(m2^2 + p2^2) + p2 v ) / m1
= ( sqrt( 0.64 m1^2 + (0.18)^2 m1^2 ) + 0.18 m1 v ) / m1
= 0.82 + 0.18 v

was für alle v > 0 größer ist als das Verhältnis der Ruhmassen m2/m1 = 0.8 (das lorentz-invariant ist, somit in S und S' gleich groß). Die kinetische Energie nimmt daher auch bei Anfangsimpulsen p1 > 0 stets zu.

[Agent Scullie]

Beim Impuls das gleiche Spiel, da v zunimmt müsste Impuls mehr werden, da aber m abnimmt müsste Impuls auch abnehmen.

mir ist da gerade noch was aufgefallen. Geht man nach der Raketengleichung, ist es tatsächlich so, dass der Impuls eines Raumschiffs bei laufendem Triebwerk zunächst zunimmt, dann aber schließlich wieder abzunehmen beginnt. Nehmen wir zunächst die nichtrelativistische Gleichung:

v_E = v0 ln(m_A/m_E)

mit m_A = Startmasse, m_E = Masse bei Brennschluss, v_E = Geschwindigkeit bei Brennschluss, und v0 = Austrittsgeschwindigkeit am Triebwerk. Für den Impuls bei Brennschluss gilt:

p_E = m_E v_E = m_E v0 ln(m_A/m_E)

Dieser wird maximal, wenn m_E = m_A/e wird (e=2,71...), und nimmt ab, wenn m_E kleiner wird. Die Ursache dafür ist, dass die Geschwindigkeit der Rakete die Austrittsgeschwindigkeit der Abgase überschreitet, v_E > v0 wird. Dadurch haben die Abgase im Laborsystem einen positiven Impuls in Flugrichtung der Rakete, und dieser muss dem Impuls der Rakete entzogen werden.

Den gleichen Effekt liefert auch die relativistische Raketengleichung:

v_E = c [ 1 - (m_E/m_A)^(2v0/c) ] / [ 1 + (m_E/m_A)^(2v0/c) ]

p_E = m_E v_E / sqrt(1 - (v_E/c)^2)

Für v0 < c findet man, dass p_E bei einem von v0 abhängigen Masseverhältnis m_E/m_A > 0 ein Maximum hat, dieses geht allerdings für v0 -> c gegen 0. D.h. für v0 = c, sprich: eine Photonenrakete, liegt dieses Maximum bei m_E = 0. Das ist auch unmittelbar einsichtig: aufgrund der Invarianz von c bewegen sich die ausgestoßenen Photonen im Laborsystem immer mit c entgegen der Flugrichtung der Rakete, der Fall, dass ihr Impuls in Flugrichtung positiv wird und der Rakete somit Impuls entzogen wird, kann daher prinzipiell nicht eintreten. Zumal v_E nicht größer als v0 = c werden kann.