Wahrscheinlichkeitsrechnung

[Hazard]

Guten Abend Forum,

ich möchte mich in die Wahrscheinlichkeitsrechnung einarbeiten, aber was ich bisher dazu gefunden habe schreckt mich eher davon ab. Ich möchte Euch bitten mir anhand von Fragen, die ich stelle, die Formeln anschaulich vorzustellen, damit ich das Schritt für Schritt lerne.

Los gehts.

Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Wahl getroffen wird, wenn folgende Bedingungen sicher sind:

Wahl: 5 aus 21
Bedingungen: 6 Treffer aus 56 Ziehungen

Vielen dank für die Hilfe im vorraus,
Hazard

[Spocky]

Dazu kommt es auch ein klein wenig drauf an, ob du ziehen mit zurücklegen machst oder einfach nur ziehen wie bei den Lottezahlen, wo es nicht auf die Reihenfolge ankommt, oder ob die Reihenfolge ebenfalls eine Rolle spielen soll.

Vielleicht hilft die das weiter:
Stochastik-Formeln mit konkreten Beispielen

[Thomas W. Riker]

Und auch, ob es exakt oder mindestens 6 Treffer aus 56 Ziehungen sein sollen, spielt eine Rolle.

[Hazard]

Guten Abend ihr zwei!

@Spocky

Danke für den Link.

In jeder Ziehung können die 5 Gewählten aufs Neue erscheinen.

Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

@Thomas W. Riker

Exakt 6 Treffer aus 56 Ziehungen.

[julian apostata]

Ich hab schon mal ein bisschen Vorarbeit geleistet und die Wahrscheinlichkeiten für 5,4,3,2,1,0 Richtige pro Ziehung ermittelt.



Jetzt aber mal eine kleine Verständnisückfrage.

@Hazard
Ist deine Bedingung erfüllt, wenn wir bei 54 Ziehungen 0 Richtige haben, bei 1 Ziehung 2 Richtige und bei 1 Ziehung 4 Richtige?

[Thomas W. Riker]

Es geht wohl darum, bei 280 aus 21 exakt 6 Treffer zu haben?

[irony]

Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Wahl getroffen wird, wenn folgende Bedingungen sicher sind:

Wahl: 5 aus 21
Bedingungen: 6 Treffer aus 56 Ziehungen

Die Aufgabenstellung ist irgendwie schwer verständlich formuliert. Ich gehe mal davon aus, dass die Binomialverteilung gemeint ist.

5 aus 21, heißt das, die Trefferwahrscheinlichkeit ist p = 5/21?

Dann wäre die gesuchte Wahrscheinlichkeit für k=6 Treffern bei n = 56 Experimenten einfach B(k|p,n).

[Hazard]

Guten Abend,

@julian apostata

Vielen Dank!

Es geht um die Betrachtung im Nachhinein. Ich möchte wissen wie wahrscheinlich das Ergebnis ist.

Also lautet die Bedingung, dass bei den Ziehungen exakt 6 Treffer herauskommen.

Ich bitte dich deine Formeln zu kommentieren. Es ist nicht nötig das Ergebnis zu kommentieren, sondern die Werte links des Gleichheitszeichens.

@irony

Richtig. Die Wahrscheinlichkeit vor der Ziehung beträgt 5/21.

Es sind exakt 6 Treffer in 56 Ziehungen erschienen, daher möchte ich anhand der Zukunft wissen wie wahrscheinlich das Ergebnis ist.

[Redphone]

Guten Abend Forum,

ich möchte mich in die Wahrscheinlichkeitsrechnung einarbeiten, aber was ich bisher dazu gefunden habe schreckt mich eher davon ab. Ich möchte Euch bitten mir anhand von Fragen, die ich stelle, die Formeln anschaulich vorzustellen, damit ich das Schritt für Schritt lerne.

Dann solltest du auch mit dem ersten Schritt anfangen...

Prinzipiell ist nämlich die Antwort auf die Frage: "Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit von..." immer ähnlich:
Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Möglichkeiten geteilt durch Anzahl der gesamten Möglichkeiten

Die beiden Sachen musst du irgendwie herausfinden - in einfachen Fällen kann man sie einfach ZÄHLEN, bei komplizierteren Fällen braucht man halt irgend eine Formel. Und bei noch komplizierteren Sachen wendet man dann Tricks an, um aus viel Rechnerei wenig Rechnerei zu machen.

Bei deinem Beispiel kann ich dir nicht helfen, weil ich überhaupt nicht verstehe, was genau du ausrechnen willst. Der allererste Schritt für dich wäre also, zu lernen, deine Problem mathematisch korrekt und verständlich zu formulieren.

[Hazard]

Ich möchte wissen wie wahrscheinlich das erzielte Ergebnis ist.

Wahl 5 aus 21 entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 5/21.

Jetzt erfolgen die Ziehungen.

Ergebnis: 6 Treffer in 56 Ziehungen.

Wie wahrscheinlich ist das Ergebnis.

Das ist die Frage.

[Redphone]

Ich möchte wissen wie wahrscheinlich das erzielte Ergebnis ist.

Ja, soweit war es klar. Dann wird es schwammig.

Wahl 5 aus 21 entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 5/21.

Was bedeutet Wahl "5 aus 21"? Was wird gewählt? Was ist 5? Was ist 21?

Jetzt erfolgen die Ziehungen.

Was wird denn gezogen?

Ergebnis: 6 Treffer in 56 Ziehungen.

Ich kann mir das so zusammenreimen:
Du denkst dir ein Zufallsexperiment mit 21 möglichen Ergebnissen (die klassische Urne mit 21 Kugeln), und vorher legt man fest, welche 5 dieser Ergebnisse "günstig" sind.
Dann führst du das Experiment durch, ziehst also eine der Kugeln aus der Urne, und wenn es eine der 5 vorher festgelegten Kugeln ist, dann ist das ein "Treffer".
Dafür ist die Wahrscheinlichkeit, wie du selbst festgestellt hast, 5/21, weil es eben 5 günstige bei 21 möglichen Ergebnissen gibt.
Günstige Ergebnisse / Mögliche Ergebnisse = 5/21 = Wahrscheinlichkeit

Und jetzt machst du das 56 mal, legst jedes Mal die gezogene Kugel wieder zurück, und willst wissen, wie wahrscheinlich es ist, GENAU 6 Treffer zu erzielen?



Wie wahrscheinlich ist das Ergebnis.

Das ist die Frage.[/QUOTE]

[Hazard]

Du hast es erfasst.

Wie wahrscheinlich ist es mit dieser Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnis zu erzielen.

[julian apostata]

Ich bitte dich deine Formeln zu kommentieren. Es ist nicht nötig das Ergebnis zu kommentieren, sondern die Werte links des Gleichheitszeichens.

Ich habe 6 Brüche angegeben. Der Nenner ist bei allen gleich, nämlich:

21 über 5 = 20349 (also 5 gezogene Kugeln von 21 Kugeln)

Jetzt schaun’mer uns mal die Zähler an. Nehmen wir mal als Beispiel nur den 3. Bruch.

Da steht: (5 über 3)*(16 über 2)

5=Anzahl der gezogenen Kugeln
3=3 Richtige
16=Anzahl der nicht gezogenen Kugeln (=21-5)
2=2 nicht Richtige

Jetzt aber noch ein Beispiel für deine Bedingung.

56 Ziehungen. 56 Ziffern. Jede Ziffer gibt die Anzahl der Richtigen bei jeder Ziehung an.

00000000000000000500000000000000000000100000000000000000
00000004000000000002000000000000000000000000000000000000
00000040000000000000001000000000010000000000000000000000
00000000000030000000000030000000000000000000000000000000
00000000000000300000000200000000000000000001000000000000
00000000000030000000100000001000000000001000000000000000
00000000003000000002000000000000000010000000000000000000
00000200000000020000000000000000002000000000000000000000
00000200000000000000020000000001000000001000000000000000
00000200000000010000010000000000100000001000000000000000
00000001000000100000100000000001000000001000000001000000

Dann müsste jede dieser Zeilen deine Bedingung erfüllen.

Oder nicht?

- - - Aktualisiert - - -

Ach so, ich glaub, jetzt hab ich’s verstanden. Ich geb das da in mein Tabellenkalkulationsprogramm ein und lass das Ergebnis runden

=ZUFALLSZAHL()*21+0,5

5 21 7 1 16 8 11 14 10 9 14 4 21 13 20 20 14 13 20 9 13 19 20 6 18 17 10 2 17 13 16 16 2 14 17 3 2 8 18 5 13 6 21 6 16 13 16 15 17 21 21 20 12 15 21 13

Dann untersuch ich, wie oft die Zahlen 1,2,3,4,5 drin vorkommen. Ich zähle 8 Treffer. 13,333 wären eigentlich zu erwarten.

Ist das jetzt so korrekt?

- - - Aktualisiert - - -

Sorry, 10 Treffer!

[Redphone]

Frage:
In einer Urne befinden sich 5 rote und 16 grüne Kugeln. Es werden 56 Ziehungen mit Zurücklegen durchgeführt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 6 Mal eine rote Kugel zu ziehen?

Antwort:
Die Ziehungen sind statistisch unabhängig, d.h. es ist egal, was ich bei der ersten Ziehung ziehe, die Wahrscheinlichkeit der zweiten, dritten, etc. Ziehung ändert sich dadurch nicht. D.h. man kann die Einzelwahrscheinlichkeiten einfach multiplizieren.

Die Wahrscheinlichkeit, in den ersten 6 Ziehungen Rot zu ziehen und danach nur noch Grün ist also:
(5/21) * (5/21) * (5/21) * (5/21) * (5/21) * (5/21) * (16/21) * ... * (16/21) =
(5/21)^6 * (16/21)^50 = 2,27 * 10^-10

Das ist aber noch nicht die Lösung, weil es könnte ja genauso gut sein, dass erst einmal Rot gezogen wird, dann einmal Grün, dann wieder fünfmal Rot dann wieder nur Grün, oder erst zweimal Rot, dann 50 Mal Grün, dann viermal Rot etc... Die Frage ist also: Wie viele Möglichkeiten gibt es bei 56 Ziehungen 6 Rote zu verteilen?
Und das müsste sein:
56! / (6! * 50!) = 32468436

Die Lösung ist also:
P(genau 6 rote Ziehungen) = (5/21)^6 * (16/21)^50 * 56! / (6! * 50!) = 2,27 * 10^-10 * 32468436 = 0,736%

(ohne Gewähr.)

[julian apostata]

Na gut, da ist mir jemand mit der Lösung zuvor gekommen.



Am wahrscheinlichten ist es aber, dass man 13 rote Kugeln zieht (12,47%)