Überlegungen zur kinetischen Energie

[Agent Scullie]

Jetzt aber mal was Anderes! Es geht ja hier um Klarstellungen und da ist mir auf Seite 7 eine Unstimmigkeit aufgefallen (und seit 12 Jahren hat niemand widersprochen!)



Die Näherungsgleichung die wir hier finden, können wir noch ein wenig weiter vereinfachen…

Zeitdilatation ? Wikipedia

…und so umformen, dass wir das Gravitationspotential raus schmeißen, und dafür die Schwerebeschleunigung einsetzen.

Nana, du hast doch da nicht etwa die Taylorentwicklung benutzt? Die Taylorentwicklung von

tau(phi) = t_0 sqrt(1 + 2 phi/c^2)

bis zum ersten Glied ist nämlich genau

tau(phi) = t_0 + t_0 phi/c^2

Falls das nicht klar ist:

tau(phi) = tau(0) + tau'(0) phi + O(phi^2)

= t_0 + t_0 (2 / 2 sqrt(1 + 0)) phi/c^2 + O(phi^2)

= t_0 + t_0 phi/c^2 + O(phi^2)

Außerdem hast du da einen Vorzeichenfehler drin. Es gilt nämlich

phi = - M G / r_0

(stünde da kein Minuszeichen, wäre das Potential abstoßend!), entsprechend ist

1 + phi / c2 = 1 - M G / (r_0 c^2)

Das muss auch so sein, denn tau muss ja kleiner als t_0 sein, sonst würden Uhren im Gravitationsfeld nicht langsamer, sondern schneller gehen.

Mit anderen Worten: Wenn wir die Erde so verändern, dass sie vierfache Masse bekommt, bei Verdoppelung des Radius…



…dann können wir uns ganz leicht im Kopf ausrechnen, dass (trotz gleicher Schwerkraft), die Zeit auf der neuen Erde um den Faktor 1,4*10^-9 langsamer geht, als im fernen Weltraum.

Dass bei Vervierfachung von M und Verdoppelung von r_0 der Zeitdilatationsgrad (Zeitdilatationsfaktor minus 1) verdoppelt wird, kann man einfachsten an der Version

tau = t_0 (1 - G M / (r_0 c^2))

der Gleichung ersehen, wo M und r_0 direkt auftreten. Welchen Vorteil soll es da haben, die Gleichung zu

tau = t_0 (1 - g_0 r_0 / c^2)

umzuformen?

Zu Bynaus Statement: Bei Vervierfachung von M und Verdoppelung von r_0 bleibt zwar die Schwerebeschleunigung gleich, aber es sagt ja niemand, dass Bynaus mit "Stärke der Gravitation" die Schwerebeschleunigung meinte. Sein Statement ist allenfalls unpräzise. Unpräzise ist es übrigens noch in einer anderen Hinsicht: es gilt nämlich erstmal nur in einer speziellen Lösung der ART-Feldgleichungen (der Schwarzschildlösung), und auch da erstmal nur in einem speziellen Koordinatensystem (den Schwarzschildkoordinaten).

[Spocky]

dann mach das doch einfach selber. Das ist ja so bei Wikipedia, dass da jeder einfach so einen Artikel editieren kann. OK, mittlerweile wird das dadurch etwas erschwert, dass Änderungen erst "gesichtet" werden müssen. Aber du kannst es ja trotzdem mal versuchen.

Diese Erschwernis ist aber sehr theoretischer Natur. Ich komme in der Wiki auf einen Schnitt von etwa zwei Beiträgen im Monat und meine Beiträge müssen nicht nur nicht gesichtet werden, ich kann sogar meinerseits Beiträge sichten - was ich persönlich zwar gewissenhaft mache, was man aber nicht von allen erwarten kann.

[julian apostata]

Außerdem hast du da einen Vorzeichenfehler drin. Es gilt nämlich...

Gut, ich schreib es noch mal schön übersichtlich hin.



g_0 an der Erdoberfläche ist 9,81m/s². r_0=6371 000m

(1+9,81*6371000/9*10^16)~1+7*10^-10

Die Zeit sehr fern der Erdoberfläche geht etwa um den Faktor 1+7*10^-10 mal schneller als auf der Erdoberfläche.

Würdest du dem letzten Satz zustimmen?

tau = t_0 (1 - G M / (r_0 c^2))

…Welchen Vorteil soll es da haben, die Gleichung zu

tau = t_0 (1 - g_0 r_0 / c^2)

umzuformen?

Aber das liegt doch total auf der Hand!

Die Zeitdifferenz ist proportional zu Schwerkraft mal Planetenradius.

Die 2. Gleichung ist schlichtweg einfacher zu durchschauen…

…allein auch schon deswegen, weil wir hier Zahlenwerte haben, die man schnell parat hat.

(Wer weiß schon das Produkt aus G*M auswendig?)

[Agent Scullie]

Gut, ich schreib es noch mal schön übersichtlich hin.

Da hast du den Vorzeichenfehler schon drin. In der linken Gleichung muss minus stehen, nicht plus. In der rechten dann natürlich auch.

Aber das liegt doch total auf der Hand!

es mag vielleicht für dich auf der Hand liegen. Daraus solltest du aber nicht schließen, dass es jeden sonst ebenfalls auf der Hand läge.

Die Zeitdifferenz ist proportional zu Schwerkraft mal Planetenradius.

"Schwerkraft mal Planetenradius" ist ein ganz unglückliches Wortgebilde. Mit dem Begriff "Schwerkraft" kann unterschiedliches gemeint sein:

1. Das Phänomen der Gravitation im allgemeinen
2. Die auf einen bestimmten Körper wirkende Gravitationskraft
3. Die Stärke des Gravitationsfeldes. Wobei damit auch wieder unterschiedliche Größen gemeint sein können, z.B. das Gravitationspotential, die Schwerebeschleunigung, der Krümmungstensor, ...

Offenbar meinst du die Schwerebeschleunigung. Dann solltest du das auch so schreiben.

Die 2. Gleichung ist schlichtweg einfacher zu durchschauen…

…allein auch schon deswegen, weil wir hier Zahlenwerte haben, die man schnell parat hat.

(Wer weiß schon das Produkt aus G*M auswendig?)

Die Aufgabenstellung war: vervierfache M, verdopple r_0, wie ändert sich dann der Zeitdilatationsfaktor? Das Lösen der Aufgabe erfordert in keinster Weise die Kenntnis des Produkts G*M. Wohl aber ist es zu ihrer Lösung nützlich, einen Ausdruck für den Zeitdilatationsfaktor zu haben, in dem M und r_0 möglichst direkt auftreten. Vor allem nützt es einem nichts, den bekannten Wert für g parat zu haben, solange man nicht über einen Ausdruck für g, in dem ebenfalls M und r_0 auftreten, errechnet hat, dass der sich nicht ändert.

[julian apostata]

Da hast du den Vorzeichenfehler schon drin. In der linken Gleichung muss minus stehen, nicht plus.

Soll das jetzt heißen, dass auch diese Wikigrafik falsch ist?



(kreisförmige Satellitenbahnen)
grün=gravitative Zeitdilatation
rot=geschwindigkeitsabhängige Zeitdilatation
blau ist die Summe von grün und rot

Und soll das jetzt heißen, dass man die grüne Linie nicht über die folgende Gleichung ermitteln kann?



t_0=Erdzeit t_1=Satellitenzeit r_0=Erdradius r_1=Satellitenbahnradius

Und willst du bestreiten, dass man r_1 nicht mehr braucht, wenn man den Konvergenzwert (~7*10^-10) der grünen Linie bestimmen will?

[Agent Scullie]

Soll das jetzt heißen, dass auch diese Wikigrafik falsch ist?

Wenn man sie richtig deutet, ist sie nicht falsch. Richtig deuten heißt hierbei, dass ein positiver Wert bedeutet, dass die betreffende Uhr schneller geht als eine auf der Erdoberfläche ruhende Uhr. Das wird an der roten Kurve deutlich, die die geschwindigkeitsbedingte Zeitdilatation angibt, da ist der Wert stets negativ, und zwar umso stärker negativ, je größer die Geschwindigkeit ist, in Übereinstimmung damit, dass eine bewegte Uhr umso langsamer geht, je höher die Geschwindigkeit ist.

Die grüne Kurve ergibt sich also aus

tau(r) = t_0 (1 - M G / (r c^2))

Mit größer werdendem r wird tau(r) größer, die betreffende Uhr geht also schneller, in Übereinstimmung mit der grünen Kurve.

Und soll das jetzt heißen, dass man die grüne Linie nicht über die folgende Gleichung ermitteln kann?



t_0=Erdzeit t_1=Satellitenzeit r_0=Erdradius r_1=Satellitenbahnradius

lass mal nachrechnen:

tau_1 = t_0 (1 - G M / (r_1 c^2))

tau_0 = t_0 (1 - G M / (r_0 c^2))

(tau_1 - tau_0) / tau_0 = [ - G M / (r_1 c^2) + G M / (r_0 c^2) ] / (1 - G M / (r_0 c^2))

= (M G / c^2) [ 1/r_0 - 1/r_1 ] / (1 - G M / (r_0 c^2))

Das hat mit deinem Ausdruck ja schon mal Ähnlichkeit, bis auf den Term (1 - G M / (r_0 c^2)) unter dem Bruchstrich. Betrachtet man stattdessen den Ausdruck

(tau_1 - tau_0) / t_0 = - G M / (r_1 c^2) + G M / (r_0 c^2) = (M G / c^2) ( 1/r_0 - 1/r_1 )

passt's schon eher.

Und willst du bestreiten, dass man r_1 nicht mehr braucht, wenn man den Konvergenzwert (~7*10^-10) der grünen Linie bestimmen will?

Ich weiß nicht, was du mit dem Konvergenzwert der grünen Linie meinst, deswegen kann ich dir die Frage nicht beantworten. Redest du vielleicht von dem Grenzfall r_1 -> unendlich? In dem braucht man aber sicherlich r_1, man will es ja gegen unendlich gehen lassen.

Wir können uns diesen Grenzfall ja mal angucken:

r_1 -> unendlich => 1/r_1 -> 0

=> (tau_1 - tau_0) / t_0 -> M G / (r_0 c^2)

Außerdem gilt damit tau_1 -> t_0 (eine im Unendlichen ruhende Uhr geht so schnell wie eine im Unendlichen ruhende Uhr), so dass

(tau_1 - tau_0) / t_0 -> (t_0 - tau_0) / t_0 = 1 - tau_0 / t_0

und folglich

1 - tau_0 / t_0 = M G / (r_0 c^2)

was trivialerweise wieder auf die Ausgangsgleichung führt:

1 - M G / (r_0 c^2) = tau_0 / t_0

<=> tau_0 = t_0 (1 - M G / (r_0 c^2))

[julian apostata]

was trivialerweise wieder auf die Ausgangsgleichung führt:

1 - M G / (r_0 c^2) = tau_0 / t_0

<=> tau_0 = t_0 (1 - M G / (r_0 c^2))

Richtig…



…und deswegen schmiss ich M*G aus der Gleichung raus, weil erst dann für den intuitiv denkenden Physiklaien klar wird:

Wenn wir die Uhren vergleichen auf der Planetenoberfläche (t_0) und die andere Uhr (t) die fern vom Planeten in Schwerelosigkeit ruht…

…so reicht es nicht allein zu wissen, welcher Schwerkraft die Uhr auf dem Planeten ausgesetzt ist…

…die Größe des Planeten ist mit ausschlaggebend (g_0*r_0/c²)

Für dich mag das vielleicht selbstverständlich sein. Mich verblüfft es. Und vielleicht bin ich nicht der Einzige, dem es so geht.

Vor 12 Jahren (Seite 7) wurde noch bezweifelt, ob derartige Effekte irgendwelche praktischen Konsequenzen hätten.

Ja, haben sie. Bringt man r=27 000km mit der blauen Linie zum Schnitt, so kann man auf der t-Achse den Wert 4*10^-10 ablesen.

Um diesen Faktor lässt man GPS-Satelliten langsamer laufen, damit sie mit den Erduhren halbwegs synchron laufen.

Es sind dann nur noch Feinkorrekturen notwendig.

[Agent Scullie]

Richtig…

ich will ja wirklich nicht meckern, aber du hast da den besagten Vorzeichenfehler noch immer drin. Da muss minus stehen, nicht plus:

tau = t_0 (1 + phi/c^2) = t_0 (1 - G M / (r_0 c^2))

Das kann man natürlich umdrehen zu

t_0 = tau / (1 - G M / (r_0 c^2)) = tau / (1 + phi/c^2)

Und das kann man natürlich abermals taylor-entwickeln zu

t_0 = tau (1 - phi/c^2) + O(phi^2) = tau (1 + G M / (r_0 c^2)) + O((G M / r_0)^2)

…und deswegen schmiss ich M*G aus der Gleichung raus, weil erst dann für den intuitiv denkenden Physiklaien klar wird:

Wenn wir die Uhren vergleichen auf der Planetenoberfläche (t_0) und die andere Uhr (t) die fern vom Planeten in Schwerelosigkeit ruht…

…so reicht es nicht allein zu wissen, welcher Schwerkraft die Uhr auf dem Planeten ausgesetzt ist…

…die Größe des Planeten ist mit ausschlaggebend (g_0*r_0/c²)

Wenn man mit dem unscharfen Begriff "Schwerkraft" die Schwerebeschleunigung meint.

Allerdings lautete deine Aufgabe ja nicht: Verdopple bei konstanter Schwerebeschleunigung den Planetenradius, wie ändert sich der Zeitdilatationsfaktor?
Sondern: Vervierfache die Masse und verdopple den Planetenradius, wie ändert sich der Zeitdilatationsfaktor?
Dass diese Aufgabe impliziert, dass die Schwerebeschleunigung konstant bleibt, und somit äquivalent zur ersten Aufgabe ist, muss man erstmal über g_0 = G M / r_0^2 errechnen. Und dann kann auch gleich genausogut mit G M / r_0 statt g_0 r_0 rechnen.

[julian apostata]

ich will ja wirklich nicht meckern, aber du hast da den besagten Vorzeichenfehler noch immer drin.

Ich glaub, ich hab jetzt einen leisen Verdacht, worauf du hinaus willst.

tau(r) = t_0 (1 - M G / (r c^2))

Mit t_0 meinst du die Zeit die bei Gravitationspotential 0 verstreicht, also in unendlich weiter Entfernung vom Planeten.

Mit „tau(r)“ meinst du die Zeit die bei der Entfernung r vom Planetenmittelpunkt verstreicht.

Ist mein Verdacht richtig?

Wenn man mit dem unscharfen Begriff "Schwerkraft" die Schwerebeschleunigung meint.

Was soll an dem Begriff Schwerkraft unscharf sein? Auf eine Uhr mit ein 1kg Masse wirkt auf unserer Planetenoberfläche eine Schwerkraft von 9,81 Newton.

Und diese 9,81 Newton (bei 1 kg Masse) allein reichen aber nicht aus, um deren Uhrengang im Vergleich bei Gravitationspotential 0 zu errechnen.

Und dann kann auch gleich genausogut mit G M / r_0 statt g_0 r_0 rechnen.

Und dieses Phänomen kommt bei „g_0 r_0“ deutlicher rüber als bei „G M / r_0„

[Agent Scullie]

Ich glaub, ich hab jetzt einen leisen Verdacht, worauf du hinaus willst.



Mit t_0 meinst du die Zeit die bei Gravitationspotential 0 verstreicht, also in unendlich weiter Entfernung vom Planeten.

Mit „tau(r)“ meinst du die Zeit die bei der Entfernung r vom Planetenmittelpunkt verstreicht.

ganz genau so wie in den Wikipedia-Artikel, aus dem du zitiert hast:

Zeitdilatation ? Wikipedia

Was soll an dem Begriff Schwerkraft unscharf sein?

immer noch das gleiche wie ich in diesem Posting schrieb:

http://www.scifi-forum.de/off-topic/off-topic-allgemein/technik-wissenschaft/75652-berlegungen-kinetischen-energie-2.html#post2894035

"Schwerkraft mal Planetenradius" ist ein ganz unglückliches Wortgebilde. Mit dem Begriff "Schwerkraft" kann unterschiedliches gemeint sein:

1. Das Phänomen der Gravitation im allgemeinen
2. Die auf einen bestimmten Körper wirkende Gravitationskraft
3. Die Stärke des Gravitationsfeldes. Wobei damit auch wieder unterschiedliche Größen gemeint sein können, z.B. das Gravitationspotential, die Schwerebeschleunigung, der Krümmungstensor, ...

Auf eine Uhr mit ein 1kg Masse wirkt auf unserer Planetenoberfläche eine Schwerkraft von 9,81 Newton.

das wäre die auf einen Probekörper wirkende Gravitationskraft. Das ist aber nicht dasselbe wie die Schwerebeschleunigung (die beträgt auf der Erde 9,81 m/s^2, nicht 9,81 N), die du bisher immer mit dem Begriff Schwerkraft bezeichnet hast.

Und dieses Phänomen kommt bei „g_0 r_0“ deutlicher rüber als bei „G M / r_0„

Das war allerdings nicht dein Argument. Dein Argument war, dass die Aufgabe "Wenn wir die Erde so verändern, dass sie vierfache Masse bekommt, bei Verdoppelung des Radius, wie verändert sich dadurch der Zeitdilatationsfaktor?" mit g_0 r_0 leichter zu lösen sei als mit G M / r_0.

[julian apostata]

Das war allerdings nicht dein Argument. Dein Argument war, dass die Aufgabe "Wenn wir die Erde so verändern, dass sie vierfache Masse bekommt, bei Verdoppelung des Radius, wie verändert sich dadurch der Zeitdilatationsfaktor?" mit g_0 r_0 leichter zu lösen sei als mit G M / r_0.

Ja genau.

Ich bastle mir eine 2.Erde. Die Uhr auf deren Oberfläche wiegt genauso viel wie auf unserer Erde. Trotzdem haben wir einen anderen Zeitdilatationsfaktor.

Bei g_0*r_0 seh ich das sofort.

Bei GM/r_0 muss ich erst mal genauer hinschauen.

Einen noch krasseren Fall haben wir, wenn wir 2 schwerelose Uhren vergleichen.

Gravitationsfeld ? Wikipedia



An der roten Linie sehen wir, dass wir im Erdmittelpunkt ein Gravitationspotential von -1,1*10^8m²/s² haben. Dort geht also eine schwerelose Uhr um den Faktor 12*10^-10 langsamer als eine ebenso schwerelose Uhr weit von der Erde entfernt.