Die Bedeutung von Unendlich & der "Null"

[Spocky]

OK, du willst es nicht kapieren, dann beweis ich es dir eben:

Ersetzen wir mal ganz allgemein Zahlen durch einen Platzhalter:
X=X

Dann lösen wir das ganze nach X auf:
X/X=1

Das Ergebnis zeigt, dass alle Zahlen mit sich selbst identisch sind, außer einer einzigen:
Für die Zahl 0 ist das Ergebnis nicht definiert, weil der "Nenner nie Null" sein darf.

Du hast noch niemals in deinem Leben 0 Äpfel gesehen, du hast überhaupt keine Ahnung, was 0 Äpfel für Eigenschaften haben. 0 Äpfel existieren nämlich gar nicht, genausowenig, wie es das Ergebnis X/X tut, wenn X=0 ist. Es ist ganz einfach.

[Tibo]

OK, du willst es nicht kapieren, dann beweis ich es dir eben:

Ersetzen wir mal ganz allgemein Zahlen durch einen Platzhalter:
X=X

Dann lösen wir das ganze nach X auf:
X/X=1

Das Ergebnis zeigt, dass alle Zahlen mit sich selbst identisch sind, außer einer einzigen:
Für die Zahl 0 ist das Ergebnis nicht definiert, weil der "Nenner nie Null" sein darf.

Wenn das stimmt, dann ist dein Satz:

0 kg und 0 g sind dasselbe.

falsch.

[ChrisArcher]

OK, ich habe eben erst diesen Thread hier entdeckt und werde mich nun mal einklinken.

Die 0 ist per Definition ein neutrales Element bezüglich der Addition, also als ein Element, welches für alle reellen Zahlen x die Eigenschaft

x + 0 = x

erfüllt. Nun zur Eindeutigkeit der 0:

Sei 0 und 0' neutrale Elemente bzgl. der Addition. Dann gilt:

(1) x + 0 = x
(2) x + 0' = x

Da die rechten Seiten der Gleichungen (1) und (2) übereinstimmen, folgt

x + 0 = x + 0'.

Nun subtrahieren wie x von beiden Seiten der Gleichung und erhalten

0 = 0'.

Nun zu der Frage, warum man nicht durch 0 teilen darf. Hierzu kann ich zwei Erklärungen geben.

1. x/0 ist der Grenzwert von x/a für a -> 0. Dieser ist aber \infty, falls x > 0, und für x < 0 ist er -\infty. Beides sind aber keine Zahlen.

2. Die formale Erklärung:

Neben der 0 als neutrales Element der Addition gibt es die 1 als neutrales Element bzgl. der Multiplikation, also als Element, welches für alle x Eigenschaft

x * 1 = x

erfüllt. Nun definiert man x^{-1} als das zu x Inverse Element bzgl. der Multiplikation, also als Element mit der Eigenschaft

x * x^{-1} = x^{-1} * x =1,

falls solch ein Element existiert. Diejenigen Elemente x, welche ein inverses Element besitzen, heißen Einheiten.

Für die reellen Zahlen IR (also den Zahlen auf dem klassischen aus der Schule bekannten Zahlenstrahl) gilt, dass jedes x ungleich 0 eine Einheit in IR besitzt, die 0 aber eben nicht. In den reellen Zahlen ist x^{-1} = 1/x.

Fazit: Wir dürfen deshalb nicht durch 0 teilen, weil es keine reelle Zahl x gibt mit der Eigenschaft

0 * x = 1.

Anmerkung zu meinen Ausführungen:

Ich habe das Ganze jetzt für die reellen Zahlen ausgeführt, aber für andere Zahlensysteme gilt dies alles analog. Die Einzige Ausnahme ist, dass es in anderen Zahlensystemen natürlich noch andere Elemente x ungleich 0 geben kann, durch die man nicht teilen darf.

[Spocky]

Wenn das stimmt, dann ist dein Satz:
falsch.

Im mathematischen Sinn hast du damit Recht, ja

Man kann somit nicht mal beweisen, dass 0 Äpfel gleich 0 Äpfel sind.

[ChrisArcher]

Man kann somit nicht mal beweisen, dass 0 Äpfel gleich 0 Äpfel sind.

Doch, das kann man. Vergleiche hierzu meinen letzten Post. Da man die Gleichung 0 = 0 beweisen kann, kann man auch die Gleichung 0 Äpfel = 0 Äpfel beweisen, sie folgt nämlich aus 0 = 0.

[Tibo]

Also ich verstehe immer noch nicht wo Spocky den Unterschied sieht.
Spocky und ich gehen wandern, Socky hat zwei Leberkässemmeln und vier Äpfel dabei, ich habe zwei Leberkässemmeln und vier Birnen dabei. Chrisarcher kommt und isst unser Obst sowie jeweils eine Leberkässemmel. Mein alles andere als naturwissenschaftlich erfahrener Verstand sagt mir Spocky und ich haben das gleiche übrig ->Eine Leberkässemmel. Ist das nun richtig oder mache ich einen Denkfehler?

[ChrisArcher]

Also ich verstehe immer noch nicht wo Spocky den Unterschied sieht.
Spocky und ich gehen wandern, Socky hat zwei Leberkässemmeln und vier Äpfel dabei, ich habe zwei Leberkässemmeln und vier Birnen dabei. Chrisarcher kommt und isst unser Obst sowie jeweils eine Leberkässemmel. Mein alles andere als naturwissenschaftlich erfahrener Verstand sagt mir Spocky und ich haben das gleiche übrig ->Eine Leberkässemmel. Ist das nun richtig oder mache ich einen Denkfehler?

In all meiner Großzügigkeit hätte ich jedem von Euch beiden eine Leberkässemmel übrig gelassen. Es stimmt somit, was Du schreibst.

Aber wo liegt denn hier genau das Verständnisproblem? Euren Posts habe ich entnommen, dass Ihr Euch fragt, ob 0 = 0 ist. Oder was ist genau die Frage?

[Tibo]

Die Frage(n) sind:
Ist 0 Äpfel= 0 Birnen? Und ist 0€ = 0 Liter?
Ich habe in einem weiteren Beispiel also auch noch mein Geld und Spocky dir sein Getränk überlassen.

[ChrisArcher]

Die Frage(n) sind:
Ist 0 Äpfel= 0 Birnen? Und ist 0€ = 0 Liter?

0 ist die Anzahl der Elemente der leeren Menge. Wenn wir im Alltag von 3 Birnen sprechen, dann meinen wir eine Menge {A, B, C}, wobei A, B und C verschiedene Birnen sind. Wenn Du also 0 Birnen hast, dann bedeutet das, dass die Menge aller Birnen, die Du hast, gegeben ist durch {}. Dasselbe gilt für Äpfel.

Das Aufstellen der Gleichung 0 Äpfel = 0 Birnen macht auch nur Sinn, wenn wir die beiden Seiten dieser Gleichung als Mengenbeschreibungen auffassen. Es gibt aber nur eine leere Menge, so dass diese Gleichung stimmt.

[Tibo]

Das Aufstellen der Gleichung 0 Äpfel = 0 Birnen macht auch nur Sinn, wenn wir die beiden Seiten dieser Gleichung als Mengenbeschreibungen auffassen. Es gibt aber nur eine leere Menge, so dass diese Gleichung stimmt.

Macht 0 Äpfel = 0 Birnen nicht auch dann Sinn, wenn ich beide Seiten der Gleichung als Produkt der 0 mit den (Terminal)symbolen Äpfel bzw. Birnen ansehe?
Also auch
0ä = 0b

[ChrisArcher]

Macht 0 Äpfel = 0 Birnen nicht auch dann Sinn, wenn ich beide Seiten der Gleichung als Produkt der 0 mit den (Terminal)symbolen Äpfel bzw. Birnen ansehe?
Also auch
0ä = 0b

Das lässt sich so nicht beantworten. In mathematischem Sinne ist das wie folgt:

=, <, <=, >, >=, ... sind Relationen. Eine Relation R ist hierbei eine Teilmenge einer Menge A x B, wobei A x B das kartesische Produkt der beiden Mengen A und B bezeichnet, also die Menge aller Paare (a,b) mit a aus A und b aus B.

Die Gleichheitsrelation auf den reellen Zahlen IR beispielsweise ist somit formal gesehen die Menge aller Paare (x,x) aus IR x IR mit x aus IR.

Somit ist die Frage, die Du stellst, situationsabhängig. Im Allgemeinen tritt eine solche Gleichung auf, wenn ich eine reale Situation habe, welche man zunächst geeignet mathematisch modellieren muss. Auf diese Weise wird die von Dir genannte Gleichung überhaupt erst mit Sinn gefüllt.

[Spocky]

Doch, das kann man. Vergleiche hierzu meinen letzten Post. Da man die Gleichung 0 = 0 beweisen kann, kann man auch die Gleichung 0 Äpfel = 0 Äpfel beweisen, sie folgt nämlich aus 0 = 0.

Du hast genau das Gegenteil bewiesen, du schreibst ja durch 0 darf man nicht teilen...

Also ich verstehe immer noch nicht wo Spocky den Unterschied sieht.
Spocky und ich gehen wandern, Socky hat zwei Leberkässemmeln und vier Äpfel dabei, ich habe zwei Leberkässemmeln und vier Birnen dabei. Chrisarcher kommt und isst unser Obst sowie jeweils eine Leberkässemmel. Mein alles andere als naturwissenschaftlich erfahrener Verstand sagt mir Spocky und ich haben das gleiche übrig ->Eine Leberkässemmel. Ist das nun richtig oder mache ich einen Denkfehler?

Ja und zwar unterscheidet uns, dass Chris dir Birnen und mir Äpfel schuldet

Das Aufstellen der Gleichung 0 Äpfel = 0 Birnen macht auch nur Sinn, wenn wir die beiden Seiten dieser Gleichung als Mengenbeschreibungen auffassen.

[ChrisArcher]

Du hast genau das Gegenteil bewiesen, du schreibst ja durch 0 darf man nicht teilen...

Die Gleichung 0 = 0 hat nichts damit zu tun, dass man nicht durch 0 teilen darf. Ich habe in einem meiner letzten Posts einen Beweis für diese Gleichung gegeben. Und ich habe ebenfalls erklärt, warum man nicht durch 0 teilen darf. Welche Stelle hast Du denn nicht verstanden? Ich will es gerne noch einmal erklären.

[Tibo]

Ja und zwar unterscheidet uns, dass Chris dir Birnen und mir Äpfel schuldet

Es waren Geschenke.

[Spocky]

Es waren Geschenke.

Deine Birnen vielleicht, aber nicht meine schönen Äpfel

@ Chris:
Beweis 1+1=0