Potenzen

[Omega1]

Hallo Leute, bin neu hier und grüße erstmal alle!

vorweg, es tut mir leid, dass ich für diese Frage einen eigenen Thread erstellt habe. Ich brauche aber dringend antworten.
Wie man dem Titel entnehmen, kann geht es um Potenzen und deren Exponenten.

Also los gehts:

wenn
2^3 = 2*2*2 ist

was ist dann:

2^3,5 = ?


wie schreibe das?


bedenkt das es mir nicht um das Produkt der gleichung geht sondern nur darum wie man den Exponent 3,5 darstellen kann.


Gruß

Omega1

[Thomas W. Riker]

Hallo Omega1

x^3,5 formt man zuerst in x^7/2 um und dies ist dann die

zweite Wurzel von x^7 nach der allgemeinen Formel

x^n/m = mte Wurzel von x^n

Hab dazu, ums selber als Mathe-Niete zu kapieren,folgenden link gefunden:

http://youtube.com/watch?v=QI5zj1eENYo

[xanrof]

Hallo Omega1,

es ist ganz einfach: Potenzen (Hochzahlen) können Zahlen größer als 1 oder kleiner als 1 sein.

Wenn die Hochzahl > 1 ist (z.B. 2, 3, 4, ...), dann ist wie in deinem ersten Beispiel.

Wenn die Hochzahl < 1 ist (z.B. 0.5 = 1/2 ), dann ist das die Wurzel der Zahl. Und die Zahl unter dem Bruchstrich gibt an, die wievielte Wurzel es ist.

also zB:

9 ^ 1/2 = Quadratwurzel von 9 = 3
27 ^ 1/3 = dritte Wurzel von 27 = 3
allg: a ^ 1/n = n-te Wurzel von a

Nun gibt es weitere Rechenregeln:

Potenzen werden potenziert (d.h. eine Zahl mit Hochzahl bekommt eine weitere Hochzahl), indem man die Hochzahlen multipliziert.

zB
( a hoch b hoch c ) kann man auch schreiben als: ( a ^ ( b * c ) ) oder als: ( a ^ ( c * b ) )
weil: bei Produkten kann man die Faktoren vertauschen: 3 * 4 = 4 * 3 = 12

das bedeutet auch:
( a ^ b ) ^ c = ( a ^ c ) ^ b

das gleiche gilt natürlich auch für Brüche:
( a ^ b ) ^ (1/n) = a ^ (b * (1/n)) = a ^ ((1/n) * b) = a ^ (b/n)

Nun zu deinem Beispiel: 3,5 = 7/2

2 ^ 3,5 = 2 ^ (7/2) = ( 2 ^ 7 ) ^ (1/2) = Quadratwurzel aus (2^7)
oder
2 ^ 3,5 = ( 2 ^ (1/2) ) ^ 7 = ( Quadratwurzel aus 2 ) hoch 7


Zusatzinfo:
Potenzen mit negativen Hochzahlen bedeuten: 1 / Potenz

a ^ -2 = 1 / (a^2) = (1/a) ^ 2


EDIT:
TWR wie immer schneller,
und ich verschieb den Thread mal nach ''Technik & Wissenschaft''

[irony]

bedenkt das es mir nicht um das Produkt der gleichung geht sondern nur darum wie man den Exponent 3,5 darstellen kann.

Du kannst den Exponenten 3,5 auch einfach so lassen wie er ist.

Es gibt eine allgemeine Exponentialfunktion f(x) = a^x, und wenn a > 0 ist, darfst du alle Kommazahlen für x einsetzen.

Für a = 2 kriegt man die rote Kurve in dem Bild, und für jedes x einen Punkt auf der Kurve.

[ChrisArcher]

Das Stichwort lautet: Exponentielle Funktion. Aber ich glaube, dass die Frage vom Omega1 gar nicht so weitreichend gedacht war.

Aber ansonsten stimmt das, was Du schreibst. Für a<0 ist a^x erst einmal nur für ganzzahliges x definiert.

[Omega1]

Hallo Leute,

danke für die schnellen und guten Antworten!
Ich glaube nun etwas besser den Sachverhalt der Potenzen verstehen zu können doch ein Folgeproblem besteht nach wie vor.
Ich mache gerade eine Ausbildung als Werkzeugmechaniker und versuche mit einer CNC Fräse (Steuerung Heidenhain TNC 355) eine Exponentialfunktion zu programmieren.
Leider ist dieses Steuersystem schon etwas älter, es fehlen mir für mein Vorhaben die relevanten mathematischen Opteratoren wie ^ und Wurzeln mit beliebigen Wurzelexponenten.
Ich suche deshalb seit ein paar Tagen eine art Umschreibung oder Transformation der Potenz 2^x, bei der der Exponent schlussendlich verschwindet und durch die Grundrechenarten +-*/ ersetzt wird. Wichtig ist eventuell auch, das x den Wert jeder reellen Zahl annehmen kann, sprich ganze Zahlen, Brüche, irrationale Werte usw.
Also wenn ich jetzt wie vorgeschlagen aus 2^(3,5) Quadratwurzel aus (2^7) mache, habe ich nach wie vor das Problem einen Exponent in meiner Funktion zu haben.

hat eventuell noch jemand eine Idee


Grüße

Omega1

[ChrisArcher]

Ich mache gerade eine Ausbildung als Werkzeugmechaniker und versuche mit einer CNC Fräse (Steuerung Heidenhain TNC 355) eine Exponentialfunktion zu programmieren.
Leider ist dieses Steuersystem schon etwas älter, es fehlen mir für mein Vorhaben die relevanten mathematischen Opteratoren wie ^ und Wurzeln mit beliebigen Wurzelexponenten.
Ich suche deshalb seit ein paar Tagen eine art Umschreibung oder Transformation der Potenz 2^x, bei der der Exponent schlussendlich verschwindet und durch die Grundrechenarten +-*/ ersetzt wird. Wichtig ist eventuell auch, das x den Wert jeder reellen Zahl annehmen kann, sprich ganze Zahlen, Brüche, irrationale Werte usw.
Also wenn ich jetzt wie vorgeschlagen aus 2^(3,5) Quadratwurzel aus (2^7) mache, habe ich nach wie vor das Problem einen Exponent in meiner Funktion zu haben.

Bei jeder bekannten Rechnerart ist es so, dass man solche Werte ohnehin nur näherungsweise berechnen kann. Da Dein System schon etwas älter ist, sollte bei Dir eine Näherung der irrationalen Zahl x an eine rationale Zahl z/n mit ganzen Zahlen z und n ausreichend sein.

Damit wären wir bei der Berechnung von a^(z/n)=(a^z)^(1/n).

Zu a^z: Das machst Du mit Fallunterscheidungen und Rekursion, wobei wir a>0 annehmen wollen.

1. Fall: z=0. Dann ist a^z=1.
2. Fall: z>0. Dann berechnest Du a^z=a*a^(z-1), wobei das Programm dann a^(z-1) berechnet.
3. Fall: z<0. Dann ist a^z=(1/a)^(-z). Das Programm berechnet nun die Rechte Seite dieser Gleichung.

Nun zur Berechnung von b^(1/n): Hierfür gibt es rekursive Folgen. Das sind Folgen von Zahlen, die gegen b^(1/n) konvergieren.

Guckst Du hier: http://www.poenitz-net.de/Mathematik....5.S.Heron.pdf

[irony]

Ich mache gerade eine Ausbildung als Werkzeugmechaniker und versuche mit einer CNC Fräse (Steuerung Heidenhain TNC 355) eine Exponentialfunktion zu programmieren.

Interessant zu wissen. Vielleicht hilft dir als Tipp das hier weiter: CORDIC

Erst 1971 jedoch wurde der CORDIC-Algorithmus von J. S. Walther auf die heute übliche Form erweitert und damit auch die effiziente Berechnung von Logarithmen, der Exponentialfunktion und der Quadratwurzel in digitalen Schaltungen möglich.

So ganz einfach wird das nicht, wenn die Werte genau werden sollen.

Vielleicht hilft auch das: http://de.wikipedia.org/wiki/BKM-Algorithmus:

Der BKM-Algorithmus ist ein iterativer Algorithmus, mit dessen Hilfe sich die Logarithmus- und Exponentialfunktion effizient in digitalen Schaltungen berechnen lassen.... Er kommt im Gegensatz zu dem CORDIC-Verfahren ohne Skalierungsfaktor aus und verwendet Logarithmentabellen anstelle der bei CORDIC notwendigen Arkustangens-Tabelle.

[ChrisArcher]

So ganz einfach wird das nicht, wenn die Werte genau werden sollen.

Gerade bie älteren Maschinen stellt sich natürlich die Frage, wie genau diese Werte überhaupt sein sollen. Wie ich oben bereits geschrieben habe, ist das Arbeiten mit Näherungswerten unvermeidbar.

[Agent Scullie]

Ich mache gerade eine Ausbildung als Werkzeugmechaniker und versuche mit einer CNC Fräse (Steuerung Heidenhain TNC 355) eine Exponentialfunktion zu programmieren.
Leider ist dieses Steuersystem schon etwas älter, es fehlen mir für mein Vorhaben die relevanten mathematischen Opteratoren wie ^ und Wurzeln mit beliebigen Wurzelexponenten.
Ich suche deshalb seit ein paar Tagen eine art Umschreibung oder Transformation der Potenz 2^x, bei der der Exponent schlussendlich verschwindet und durch die Grundrechenarten +-*/ ersetzt wird. Wichtig ist eventuell auch, das x den Wert jeder reellen Zahl annehmen kann, sprich ganze Zahlen, Brüche, irrationale Werte usw.
Also wenn ich jetzt wie vorgeschlagen aus 2^(3,5) Quadratwurzel aus (2^7) mache, habe ich nach wie vor das Problem einen Exponent in meiner Funktion zu haben.

das ist jetzt allerdings, anders als in deinem ersten Posting dargestellt, weniger ein Problem der Mathematik als vielmehr der Informatik. Es geht ja nicht darum, wie Potenzen rein mathematisch gesehen definiert sind, sondern wie sie auf einem Rechenautomaten (ich weiß nicht, ob man das Steuergerät einer CNC-Fräse "Computer" nennen kann, daher verwende ich diesen allgemeineren Begriff), der bestimmte mathematische Grundoperationen von Hause aus beherrscht, realisiert werden können.

Welche Rechenoperationen stellt das Steuersystem denn genau zur Verfügung? Nur die Grundrechenarten +,-,*,/? Oder auch eine Sammlung mathematischer Funktionen, wie z.B. die e-Funktion exp(x) und den natürlichen Logarithmus ln(x)? Mit denen kann man Potenzen nämlich sehr schön realisieren, so macht man das auch häufig auf Desktop-Computern in Hochsprachen wie C:

x^y = exp(y * ln(x))

Siehe auch:

Potenzfunktion mit beliebigem Exponenten in C - Mikrocontroller.net

[irony]

Gerade bie älteren Maschinen stellt sich natürlich die Frage, wie genau diese Werte überhaupt sein sollen. Wie ich oben bereits geschrieben habe, ist das Arbeiten mit Näherungswerten unvermeidbar.

Der BKM-Algorithmus sieht ziemlich einfach aus und scheint auch sehr genaue Werte zu liefern. Man muss diese Tabelle A_e abspeichern, aber das sollte auch auf einer alten Maschine kein Problem sein.

[Omega1]

@ ChrisArcher, Irony, AgentScully,

Danke für eure Antworten, tatsächlich fühle ich mich aber leicht erschlagen von dieser schwer verdaulichen Kost
Ich wurde vor ein paar Tagen mit Q-Parametern konfrontiert und habe schnell erkannt wie umfassend die Möglichkeiten bei deren Anwendung sind.
Neben einer Halbkugel (sowas sieht dann so aus):


0 BEGIN PGM HALBKUGEL QP MM
1 BLK FORM 0.1 Z X-20 Y-20 Z-20
2 BLK FORM 0.2 X+20 Y+20 Z+20
3 TOOL CALL 1 Z S2000 F600
4 L Z+100 R0 FMAX M3
5 L X+0 Y+0 Z+21
6 LBL 2
7 FN 0: Q2 =-1
8 LBL 1
9 FN 0: Q3 =+20
10 FN 0: Q4 =+20
11 FN 1: Q2 =+Q2 + +1
12 Q5 = Q3 * SIN ( Q2 )
13 Q6 = Q4 * COS ( Q2 )
14 L X+Q5 Z+Q6 R0 FMAX M3
15 FN 12: IF +Q2 LT +90 GOTO LBL 1
16 L Z+21
17 L X+0 Y+0
18 CYCL DEF 10.0 DREHUNG
19 CYCL DEF 10.1 IROT+1
20 CALL LBL 2 REP360
21 LBL 0
22 LBL 0
23 L M30
24 END PGM HALBKUGEL QP MM

,
einem in der Z-Ache um 360 Grad gedrehtem Sinus und Sinus Cardinalis wollte ich mich nun auch an einer Exponetialfunktion versuchen.
Kann sein, das hier im grunde genommen eher ein programmiertechnisches Problem vorliegt. Doch wie gesagt sind meine Möglichkeiten an der Maschine begrenzt
Die Logik in der verlinkten Programmiervorlage in ein Heindenhain KLARTEXT Programm umzuwandeln wird wohl schwer umzusetzen sein, möchte aber nichts ausschließen.
Die Steuerung kennt das Multiplizieren,Addieren,Subtraieren,Dividieren,
Sin,cos,tan und quadratwurzeln.
Nagut, ich denke das dieses Vorhaben bis zum CNC-Maschienenwechsel warten muss.
Sollte nicht mehr lang dauern.
Ich danke euch aber trotzdem für eurer Engagement mir in dieser Angelegenheit zu helfen, ihr wisst wirklich gut bescheid (Heron, Cordic, BKM Al.), ich werde jetzt erstmal mit einer quadratischen Funktion vorliebnehmen müssen.

Gruß

Omega1

[irony]

Schreib doch mal ein Programm, das die Kehrwerte der ersten N Quadratzahlen aufsummiert, und erweitere es dann so, dass es abbricht, wenn ein Summand kleiner als eine Schranke S wird, z.B. für S = 0,00001. Aus diesem Gerüst müsste man die Exponentialfunktion exp(x) = e^x programmieren können.

Wenn es nur um 2^x geht, kann man das dann über 2^x = exp( ln(2) * x) mit der Konstanten ln(2) = 0,6931471805599 berechnen.

[ChrisArcher]

Schreib doch mal ein Programm, das die Kehrwerte der ersten N Quadratzahlen aufsummiert, und erweitere es dann so, dass es abbricht, wenn ein Summand kleiner als eine Schranke S wird, z.B. für S = 0,00001. Aus diesem Gerüst müsste man die Exponentialfunktion exp(x) = e^x programmieren können.

Wenn es nur um 2^x geht, kann man das dann über 2^x = exp( ln (2) * x) mit der Konstanten ln(2) = 0,6931471805599 berechnen.

Das fuktioniert aber nicht mit der Rechnung. Es gilt:

exp(x)=Summe von n=0 bis unendlich von (x^n)/n!

Mit Deiner Schranke S wäre die gewünschte Näherung dann:

1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/6 + (x^4)/24 + ... + (x^(n-1)/(n-1)!) + (x^n)/n!,

wobei (x^n)/n!<S, aber (x^(n-1)/(n-1)!)>=S.

[irony]

Mit Deiner Schranke S wäre die gewünschte Näherung dann:

1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/6 + (x^4)/24 + ... + (x^(n-1)/(n-1)!) + (x^n)/n!,

wobei (x^n)/n!<S, aber (x^(n-1)/(n-1)!)>=S.

Ja, und?

Wir sind uns doch wahrscheinlich einig, dass das Programm, auch wenn es mit Goto-Sprüngen arbeitet, eine Schleife und eine Abbruchbedingung haben muss. Sobald ein Summand so klein wird, kleiner als S, kann man aufhören, aufzusummieren. Spätestens dann sollte man keine weiteren Summanden addieren, wenn man in den Bereich der Maschinengenauigkeit kommt.