Gravitation und Raumzeit - Fragen und Diskussion

[Halman]

raumzeitliche Krümmung innerhalb und außerhalb von Massen

dass sich zwei paralleltransportierte Speere zueinander verdrehen, trifft bereits dann zu, wenn der Riemannsche Krüßmmungstensor von null verschieden ist, der Einstein-Tensor aber null bleibt, was z.B. außerhalb einer kugelsymmetrischen Massenverteilung der Fall ist. Die Identifikation des Einstein-Tensors mit Rotationsmomenten habe ich außer bei Wheeler auch noch nirgendwo gesehen. Generell gilt, dass sich die Krümmung bzw. der Krümmungstensor durch die Verdrehung paralleltransportierter Vektoren definiert, die Krümmung aber ungleich null sein kann, ohne dass der Einstein-Tensor ebenfalls ungleich null sein müsste.

Also, die gezeitenerzeugende raumzeitliche Krümmung außerhalb vom Massezentrum wird durch den Riemannschen Krümmungstensor beschrieben, der Einsteintensor beschreibt hingegen die kontrahierende raumzeitliche Krümmung innerhalb von Massen, richtig?

Wheeler verglich ja die positive raumzeitliche Krümmung der 4D-Raumzeit mit der positiven Krümmung einer 2D-Oberfläche eines Balles.
Wenn man einen Kreis mit 10 cm Radius auf ein flaches Blatt Papier zeichnet, so muss man "apfelsinnenförmiche" Keile herausschneiden, damit die übrigen Stücke natlos auf der Kugel platziert werden können. Es fehlen 22,8 cm des Kreisumfanges, der nun den Äquator des Balles mit 40 cm Umfang bildet.

Wenn ich mir überlege, dass die raumzeitliche Krümmung im inneren der Erde rund 9 Potenzen kleiner ist, als die Krümmung der Erdoberfläche von 2,5 x 10^-14 Radian pro m², nämlich 1,7 x 10^-23 Radian pro m², dann wären die "Keile", die hier verschwinden, entsprechend klein. Aber gehe ich recht in der Annahme, dass der Raum innerhalb von Massen kontrahiert wird, in einem Schwarzen Loch also gegen Null geht?

mu und nu sind die beiden Indizes der Komponenten des Einstein-Tensors. Es handelt sich ja um einen Tensor zweiter Stufe, jede Komponente hat somit 2 Indizes. Jeder der beiden kann von 0 bis 3 laufen.

Indizes Sind das die Weltlinien?

rho und p sind Energiedichte und Druck, nicht Energie und Impuls.

Ich entsinne mich, dass ich hier einen Wiederholungsfehler beging. Ich meine, dass Du dies schon mal richtig gestellt hattest.

Ich versuche nur, Analogien zwischen der populärwissenschaftlichen Sprache Wheelers aus seinem Buch Gravitation und Raumzeit und Deiner Fachsprache zu finden. Beim 2. Mal lesen verstehe ich das Buch besser. Wenn ich dieses Verständnis den fachlichen Ausdrucksformen zuordnen könnte, würde es mir sehr weiterhelfen.
Was ist hier denn nun die Analogie zur Impenergie? Die Energiedichte?

Edit: hier ist ein interessanter Link dazu, was eine Raumzeitregion, wo der Einstein-Tensor verschwindet, die Krümmung aber von null verschieden ist, von einer Region unterscheidet, wo auch der Einstein-Tensor von null verschieden ist:

Die Symmetrie der Naturgesetze, Jörg Resag, 2005

Da werde ich mich mal durcharbeiten, auch wenn mir vieles verschlossen bleiben wird.
Danke für den Link.

Ganz unten auf der Seite wird erläutert, dass eine aus frei fallenden Testmassen gebildete Kugel mit der Zeit an Volumen verliert, wenn der Einstein-Tensor ungleich null ist, während sie dann, wenn der Einstein-Tensor null ist, der Krümmungstensor jedoch nicht, nur verzerrt wird (durch Gezeitenkräfte), aber ihr Volumen beibehält.

Dieser Tatsache witmet Wheeler in seinem Buch ja viel Aufmerksamkeit. Zurzeit bin ich wieder bei Kapitel 8, wo es u.a. auch darum geht, dass die Summe der raumzeitlichen Krümmungen eines kleines Würfels im Orbit eines kugelsymetrischen Massezentrums, der keine Impergie enthält, ingesamt Null ist - der Einsteintensor also Null ist, wenn ich Dich richtig verstehe. Hier wird der Raum also nicht kontrahiert, sondern nur gezeitenerzeugend zur riemanischen Krümmung (hier Schwarzschild-Geometrie) verzerrt .

Der Riemanische Krümmungstensor ist dann wohl Thema der Kapitel 8 und - 9, wo es um die relativ zueinander gebogenenden Weltlinien geht.
Also widerhole ich demnächst die "Ameiseisenkunde" und die griechische Geometrie, welche mir doch so große Schwierigkeiten bereitete, wie Du dich vermutlich erinnern wirst.

[Agent Scullie]

Also, die gezeitenerzeugende raumzeitliche Krümmung außerhalb vom Massezentrum wird durch den Riemannschen Krümmungstensor beschrieben, der Einsteintensor beschreibt hingegen die kontrahierende raumzeitliche Krümmung innerhalb von Massen, richtig?

der Riemannsche Krümmungstensor beschreibt alle Krümmungen, sowohl innerhalb als auch außerhalb von Massen. Der Einstein-Tensor dagegen nur die Krümmung innerhalb von Materieverteilungen. Der Einstein-Tensor leitet sich zudem vom Krümmungstensor ab, es kann daher gar nicht passieren, dass der Einstein-Tensor von null verschieden ist, der Krümmungstensor aber zugleich verschwindet. Nur das umgekehrte ist möglich.

Wheeler verglich ja die positive raumzeitliche Krümmung der 4D-Raumzeit mit der positiven Krümmung einer 2D-Oberfläche eines Balles.

hier muss man vorsichtig sein. Die Krümmung eines 2-dim. Raumes lässt sich vollständig durch den Ricci-Skalar beschreiben, in Wheelers Darstellung dem Produkt der beiden Krümmungsradien, in mehr als 2 Dimensionen (also z.B. bei der 4-dim. Raumzeit) ist das aber nicht mehr so. Man kann daher die Krümmung der Raumzeit nicht einfach als positiv oder negativ bezeichnen.

Aber gehe ich recht in der Annahme, dass der Raum innerhalb von Massen kontrahiert wird, in einem Schwarzen Loch also gegen Null geht?

die Vorstellung, dass innerhalb einer Masse der Raum kontrahiert, ist nur bedingt sinnvoll. Kontrahieren tut eine kugelförmige Ansammlung von Testmassen, wenn man annimmt, dass diese Testmassen ungehindert durch die gravitierende Masse hindurchfallen können. Das Volumen der Ansammlung strebt dabei immer gegen null, egal wie stark oder schwach die Gravitation ist, d.h. im inneren einer Gaswolke genauso wie in einem Neutronenstern, nur halt langsamer. In einem schwarzen Loch schließlich gibt es gar keinen von der gravitierenden Masse eingenommenen Raum, da die Masse auf eine ausdehnungslose Singularität komprimiert ist. Vor Erreichen der Singularität ist man daher immer im Bereich der gezeitenerzeugenden Krümmung, nicht im Bereich der komprimierenden Krümmung.

Indizes Sind das die Weltlinien?

nein, ein Index ist sozusagen eine Nummer für eine Komponente. Nimm einen klassischen Dreiervektor, als einen Vektor im 3-dim. Raum, z.B. den Geschwindigkeitsvektor. Dieser hat, da der Raum 3 Dimensionen hat, drei Komponenten, eine in x-Richtung, eine in y-Richtung, eine in z-Richtung. Diese drei Komponenten nennt man kurz v_x, v_y und v_z, oder auch v_1, v_2, v_3. x,y und z bzw. 1,2 und 3 sind hier die Indizes der Komponenten. Bei einem Tensor 2. Stufe hat jede Komponente nicht einen einzigen Index wie bei einem Vektor, sondern zwei. Ein Tensor 2. Stufe im 3-dim. Raum, nennen wir ihn T, hat z.B. die Komponenten T_xx, T_xy, T_xz, T_yx, T_yy, T_yz, T_zx, T_zy, T_zz. Auch da sind wieder x,y und z die Indizes, nur hat halt jede Komponente zwei davon. Da der 3-dim Raum eben drei Dimensionen hat, laufen die Indizes von x bis y bzw. 1 bis 3, d.h. sie können drei verschiedene Werte annehmen. In der 4-dim. Raumzeit können sie vier verschiedene Werte annehmen, sie laufen von 0 bis 3 bzw. von t bis z.

Die Weltlinien können es auch gar nicht sein, es sind ja gar keine Weltlinien beteiligt.

Ich entsinne mich, dass ich hier einen Wiederholungsfehler beging. Ich meine, dass Du dies schon mal richtig gestellt hattest.

Ich versuche nur, Analogien zwischen der populärwissenschaftlichen Sprache Wheelers aus seinem Buch Gravitation und Raumzeit und Deiner Fachsprache zu finden. Beim 2. Mal lesen verstehe ich das Buch besser. Wenn ich dieses Verständnis den fachlichen Ausdrucksformen zuordnen könnte, würde es mir sehr weiterhelfen.
Was ist hier denn nun die Analogie zur Impenergie? Die Energiedichte?

die Impenergie ist der Energie-Impuls-Vierervektor p^mu. Dessen vier Komponenten haben wie du siehst nur einen einzigen Index, mu.

[Halman]

der Riemannsche Krümmungstensor beschreibt alle Krümmungen, sowohl innerhalb als auch außerhalb von Massen. Der Einstein-Tensor dagegen nur die Krümmung innerhalb von Materieverteilungen. Der Einstein-Tensor leitet sich zudem vom Krümmungstensor ab, es kann daher gar nicht passieren, dass der Einstein-Tensor von null verschieden ist, der Krümmungstensor aber zugleich verschwindet. Nur das umgekehrte ist möglich.

Danke für die einleuchtende Erkärung, Agent Scullie. Der "Nebel", der mich umgibt, beginnt sich langsam aufzuklaren ... um mir eine (so vermute ich) große Welt zu zeigen, die ich mit meinen "Kinderaugen" noch nicht verstehen kann.

hier muss man vorsichtig sein. Die Krümmung eines 2-dim. Raumes lässt sich vollständig durch den Ricci-Skalar beschreiben, in Wheelers Darstellung dem Produkt der beiden Krümmungsradien, in mehr als 2 Dimensionen (also z.B. bei der 4-dim. Raumzeit) ist das aber nicht mehr so. Man kann daher die Krümmung der Raumzeit nicht einfach als positiv oder negativ bezeichnen.

Hm - im 8. Kapitel beschreibt Wheeler, wie sich die Summe der Krümmungen der Ränder eines kleines Würfels innerhalb der Schwarzschild-Geometrie zu null addieren.
Darf ich mir das so vorstellen, dass die Krümmung in der Umgebung einer kugelsymmetrischen Masse sowohl positiv wie auch negativ ist, also je nachdem, ob man dies nun senkrecht oder waagerecht zum Massezentrum betrachet?
Falls ich richtig liege, wären die beiden zugewandten Plaketten positiv gekrümmt und die vier abgewandten Flächen negativ gekrümmt (wobei der Krümmungswert der zugewandten Plaketten doppelt so hoch ist).

die Vorstellung, dass innerhalb einer Masse der Raum kontrahiert, ist nur bedingt sinnvoll. Kontrahieren tut eine kugelförmige Ansammlung von Testmassen, wenn man annimmt, dass diese Testmassen ungehindert durch die gravitierende Masse hindurchfallen können. Das Volumen der Ansammlung strebt dabei immer gegen null, egal wie stark oder schwach die Gravitation ist, d.h. im inneren einer Gaswolke genauso wie in einem Neutronenstern, nur halt langsamer. In einem schwarzen Loch schließlich gibt es gar keinen von der gravitierenden Masse eingenommenen Raum, da die Masse auf eine ausdehnungslose Singularität komprimiert ist. Vor Erreichen der Singularität ist man daher immer im Bereich der gezeitenerzeugenden Krümmung, nicht im Bereich der komprimierenden Krümmung.

Hm ... ich deutete die Beschreibung so, als wenn tatsächlich Raum verschwindet (wie bei einem Kreis, den man auf einer Kugel klebt und von dem man apfelsinnenförmige Keile entfernt).
Daher vermutete ich, dass in einem Schwarzen Loch nicht nur Masse, sondern auch die Raumzeit kompromiert wird.
Raum kann doch kontrahieren und expandieren. Bewirkt positive Krümmung denn keine Kontraktion des Raumes und eine sattelförmige Krümmung keine Expansion?

nein, ein Index ist sozusagen eine Nummer für eine Komponente. Nimm einen klassischen Dreiervektor, als einen Vektor im 3-dim. Raum, z.B. den Geschwindigkeitsvektor. Dieser hat, da der Raum 3 Dimensionen hat, drei Komponenten, eine in x-Richtung, eine in y-Richtung, eine in z-Richtung. Diese drei Komponenten nennt man kurz v_x, v_y und v_z, oder auch v_1, v_2, v_3. x,y und z bzw. 1,2 und 3 sind hier die Indizes der Komponenten. Bei einem Tensor 2. Stufe hat jede Komponente nicht einen einzigen Index wie bei einem Vektor, sondern zwei. Ein Tensor 2. Stufe im 3-dim. Raum, nennen wir ihn T, hat z.B. die Komponenten T_xx, T_xy, T_xz, T_yx, T_yy, T_yz, T_zx, T_zy, T_zz. Auch da sind wieder x,y und z die Indizes, nur hat halt jede Komponente zwei davon. Da der 3-dim Raum eben drei Dimensionen hat, laufen die Indizes von x bis y bzw. 1 bis 3, d.h. sie können drei verschiedene Werte annehmen. In der 4-dim. Raumzeit können sie vier verschiedene Werte annehmen, sie laufen von 0 bis 3 bzw. von t bis z.

Vielen Dank - also geben die Indizes die Verteilung in der Raumzeit an.
Unterscheidet sich der Tensor darin vom Vektor, dass er "benachtbarte" Ereignisse den Indizes-Paaren zuordnet? Oder bin ich wieder auf einen Irrweg?
Mein Gedanke ist der, dass man IMHO die kleinen Unterschiede zwischen benachtbarten Ereignissen quantizieren will, um so Aussagen über das Tensorfeld zu fällen.

Die Weltlinien können es auch gar nicht sein, es sind ja gar keine Weltlinien beteiligt.

Hier dachte ich an die von Wheeler beschriebenen benachtbarten Weltlinien, welche die Seitenränder der "verantwortlichen" Fläche bilden. Die Rotation bzw. der Winkel zwischen den Weltlinien offenbart dann die Krümmung.
Daher habe ich immer Weltlinien im Kopf, wenn es um die Bestimmung von Krümmungen geht. In Tensoren geht man so also nicht vor?

die Impenergie ist der Energie-Impuls-Vierervektor p^mu. Dessen vier Komponenten haben wie du siehst nur einen einzigen Index, mu.

So ganz schlau werde ich daraus nicht. Ich entsinne mich an einer große Klammer mit 16 Komponenten in einer für mich rätselhaften Formel, in denen drei mal ein p (warum Druck und kein Impuls?) und ein mal ein ρ steht.

[Agent Scullie]

Hm - im 8. Kapitel beschreibt Wheeler, wie sich die Summe der Krümmungen der Ränder eines kleines Würfels innerhalb der Schwarzschild-Geometrie zu null addieren.

na die Ränder des Würfels sind doch Flächen, also 2-dimensional. Deren Krümmungen lassen sich dann natürlich vollständig skalar beschreiben.

Darf ich mir das so vorstellen, dass die Krümmung in der Umgebung einer kugelsymmetrischen Masse sowohl positiv wie auch negativ ist, also je nachdem, ob man dies nun senkrecht oder waagerecht zum Massezentrum betrachet?

du musst erstmal unterscheiden zwischen der Krümmung der Raumzeit, der Krümmung des 3-dim. Raumes und den Krümmungen der sechs 2-dim. Grenzflächen des Würfels.

Falls ich richtig liege, wären die beiden zugewandten Plaketten positiv gekrümmt und die vier abgewandten Flächen negativ gekrümmt (wobei der Krümmungswert der zugewandten Plaketten doppelt so hoch ist).

das wären dann die Krümmungen der 2-dim. Grenzflächen.

Hm ... ich deutete die Beschreibung so, als wenn tatsächlich Raum verschwindet (wie bei einem Kreis, den man auf einer Kugel klebt und von dem man apfelsinnenförmige Keile entfernt).

jetzt bringst du zwei ganz verschiedene Dinge durcheinander, nämlich einmal die Konstruktion eines gekrümmten Raumes aus einem flachen und andererseits die Abnahme eines Volumens im Laufe der Zeit.

Daher vermutete ich, dass in einem Schwarzen Loch nicht nur Masse, sondern auch die Raumzeit kompromiert wird.

was soll ein Komprimieren der Raumzeit sein?

Raum kann doch kontrahieren und expandieren. Bewirkt positive Krümmung denn keine Kontraktion des Raumes und eine sattelförmige Krümmung keine Expansion?

eines Expansion oder Kontraktion des Raumes ist nur für spezielle Raumzeit-Metriken bzw. Koordinatensysteme definiert. Wie z.B. für die Robertson-Walker-Metrik, die das Universum als Ganzes beschreibt. In der Schwarzschildmetrik kann man in gewisser Weise ebenfalls von einer Kontraktion des Raumes sprechen, wenn man von frei fallenden Koordinaten ausgeht. Der Raum ist dann aber immer kontrahierend, unabhängig davon, ob du bei deinem Würfel eine Grenzfläche mit positiver oder negativer Krümmung betrachtest.

Vielen Dank - also geben die Indizes die Verteilung in der Raumzeit an.

bei einem Vektor geben die Komponenten die Verteilung auf die vier Raumzeitrichtungen an, bei einem Tensor 2. Stufe ist das nicht mehr so einfach.

Unterscheidet sich der Tensor darin vom Vektor, dass er "benachtbarte" Ereignisse den Indizes-Paaren zuordnet?

es werden keine benachbarten Ereignisse Indizes-Paaren zugeordnet. Nicht von einem Tensor, Vektor oder sonst von irgendetwas.

Oder bin ich wieder auf einen Irrweg?

scheint so.

Mein Gedanke ist der, dass man IMHO die kleinen Unterschiede zwischen benachtbarten Ereignissen quantizieren will, um so Aussagen über das Tensorfeld zu fällen.

das gilt für alle Fälle, egal ob skalar, vektoriell oder tensoriell.

Hier dachte ich an die von Wheeler beschriebenen benachtbarten Weltlinien, welche die Seitenränder der "verantwortlichen" Fläche bilden. Die Rotation bzw. der Winkel zwischen den Weltlinien offenbart dann die Krümmung.
Daher habe ich immer Weltlinien im Kopf, wenn es um die Bestimmung von Krümmungen geht.

wir reden hier aber nicht über die Bestimmung von Krümmungen, sondern über die Krümmung selbst.

So ganz schlau werde ich daraus nicht. Ich entsinne mich an einer große Klammer mit 16 Komponenten in einer für mich rätselhaften Formel, in denen drei mal ein p (warum Druck und kein Impuls?) und ein mal ein ρ steht.

das war der Energie-Impuls-Tensor, nicht der Impuls-Vierervektor.

Edit: ich habe mir jetzt nochmal die Definition des Riemannschen Krümmungstensors angesehen. Die kann man z.B. folgendermaßen darstellen:

Sei A^c ein Vektorfeld (c = 0,1,2,3 ist der Index) und D_a die kovariante Ableitung nach der Koordinate x^a (hier ist a der Index), dann gilt

R_abc^d A^c = (D_a D_b - D_b D_a) A^d

Anschaulich gesprochen: im linken Term in der Klammer wird erst D_b auf X^d angewandt, was dem entspricht, dass man ein kleines Stück in Richtung der Koordinate x^b (z.B. t,x,y oder z) geht und ermittelt, wie sich der Wert des Vektorfeldes A^d dabei ändert, anschließend wendet man D_a an, was dasselbe in Richtung der Koordinate x^a bedeutet. Im rechten Term in der Klammer ist es umgekehrt, man geht erst ein kleine Stück in Richtung von x^a und dann in Richtung von x^b, so dass man am gleichen Punkt anlangt wie beim linken Term. Man hat also ein kleines Viereck beschrieben. Der Ausdruck auf der rechten Seite als Ganzes gibt dann an, wie groß der Unterschied in der Änderung des Wertes des Vektorfeldes zwischen den beiden Wegen (erst in in x^b-Richtung, dann in x^a-Richtung, und umgekehrt) ist.

Wenn du so willst, stehen die Indizes a und b also für die Richtungen, in denen die Seiten des kleinen Vierecks verlaufen. Bleiben noch die Indizes c und d übrig. c wird durch die Bildung des Produkts mit dem Vektorfeld A^c eliminiert. Der Index d rührt daher, dass auf der rechten Seite das Vektorfeld A^d steht, das ja vier Komponenten hat, was sich auch auf der linken Seite niederschlagen muss. Würdest du z.B. auf der rechten Seite nur eine Komponente des Vektorfeldes betrachten, z.B. A^x, so würde auf der linken Seite nur ein Teil des Krümmungstensors stehen, nämlich der, für den d=x:

R_abc^x A^c = (D_a D_b - D_b D_a) A^x

Interessanterweise würde auf der linken Seite trotzdem das ganze Vektorfeld A^c stehen, nicht nur die x-Komponente.

[Halman]

na die Ränder des Würfels sind doch Flächen, also 2-dimensional. Deren Krümmungen lassen sich dann natürlich vollständig skalar beschreiben.

Ja - natürlich.

du musst erstmal unterscheiden zwischen der Krümmung der Raumzeit, der Krümmung des 3-dim. Raumes und den Krümmungen der sechs 2-dim. Grenzflächen des Würfels.

Hm - da hast Du natürlich recht. Also, ich betrachte erstmal die Krümmung der sechs 2D-Ränder des Würfels. So wie ich Wheelers Buch verstehe, erlaubt dies einen Rückschluss auf die Art Krümmung innerhalb der Schwarzschildgeometrie in einem raumzeitlichen Gebiet, dass keinerlei Impenergie enthält.
Also behaupte ich mal: Senkrecht zum Massezentrum ist die raumzeitliche Krümmung negativ, waagerecht dazu positiv.

das wären dann die Krümmungen der 2-dim. Grenzflächen.

Also habe ich diese richtig beschrieben? (Manchmal verdrehe ich etwas, daher vergewissere ich mich lieber, bevor ich auf Fehler weitere Gedankengänge aufbaue.)

jetzt bringst du zwei ganz verschiedene Dinge durcheinander, nämlich einmal die Konstruktion eines gekrümmten Raumes aus einem flachen und andererseits die Abnahme eines Volumens im Laufe der Zeit.

Nun, ich versuche Wheelers anschauliche 2D-Geometrie auf die 4D-Geometrie der ART zu übertragen. Habe ich da etwas überinterpretiert?

was soll ein Komprimieren der Raumzeit sein?

Dies stelle ich mir als einen Punkt von 0 cm und 0 Sekunden vor. Aber ich erinnere mich natürlich, dass die Raumzeit nicht kontrahiert und somit wohl auch nicht kompromiert werden kann. Damit wollte ich nur andeuten, dass der Raum kompromiert wird und die Zeit zum Stillstand kommt.
Ich stelle mir die Raumzeit als extrem widerstandfähiges "Medium" vor, welches aber physikalisch wechselwirkt und prinzipiell genauso wie Energie und Masse verändert werden kann.
Wenn negative Energiedichten den Raum u.U. kontrahieren und expandieren können, wenn der Raum des gesamten Universums dies ebenfalls kann, so dachte ich mir, könnte Masse auch ein Kontrahieren oder Kompromieren des Raumes bewirken.

eines Expansion oder Kontraktion des Raumes ist nur für spezielle Raumzeit-Metriken bzw. Koordinatensysteme definiert. Wie z.B. für die Robertson-Walker-Metrik, die das Universum als Ganzes beschreibt. In der Schwarzschildmetrik kann man in gewisser Weise ebenfalls von einer Kontraktion des Raumes sprechen, wenn man von frei fallenden Koordinaten ausgeht. Der Raum ist dann aber immer kontrahierend, unabhängig davon, ob du bei deinem Würfel eine Grenzfläche mit positiver oder negativer Krümmung betrachtest.

Aber die frei fallenden Koordinaten werden doch gar nicht kontrahiert, sondern nur verformt, solange, wie der Würfel positiv und negativ gekrümmte Grenzflächen hat. Oder hat er die auch innerhalb von Massen? Ich dachte, da sei alles positiv gekrümmt.

bei einem Vektor geben die Komponenten die Verteilung auf die vier Raumzeitrichtungen an, bei einem Tensor 2. Stufe ist das nicht mehr so einfach.

Ja, vermutlich viel zu schwer für mich. Nur aus Interesse: Werden Tensoren bereits im Abitur vermittelt, oder erst im Studium?

es werden keine benachbarten Ereignisse Indizes-Paaren zugeordnet. Nicht von einem Tensor, Vektor oder sonst von irgendetwas.

Dann war ich auf der falschen Spur.

Wenn benachtbarte Ereignisse in Formeln behandelt werden, taucht dann immer ein oder mehrere Male ein "d" auf? Also z.B. dx, dy, dz, dt? Und wenn dieses kleine "d" nicht auftaucht, wird auch nichts "benachtbartes" betrachtet?

das gilt für alle Fälle, egal ob skalar, vektoriell oder tensoriell.

So ganz falsch ist meine Spur also doch nicht.

wir reden hier aber nicht über die Bestimmung von Krümmungen, sondern über die Krümmung selbst.

Danke für diesen Hinweis. - Also beschreibt der Tensor die Krümmung als ein Gebilde, so wie man beipsielsweise auch eine Kugel mathematisch beschreiben könnte. Die Krümmung der Kugel bspw. mithilfe des Paralleltransports zu bestimmen wäre ja nicht die Beschreibung der Kugel an sich, sondern eine Messmethode.
Also sind Tensoren keine Messmethoden, sondern mathematische Beschreibungen von Feldern.

das war der Energie-Impuls-Tensor, nicht der Impuls-Vierervektor.

Ich setzte die Impenergie irrtümlich mit dem Energie-Impuls-Tensor gleich, weil ich davon ausgehe, dass jede Impenergie automatisch einen solchen Tensor hat. Daher dachte ich, wenn der Impuls-Vierervektor feststeht, hat man auch den Tensor. Da habe ich wohl zu einfach gedacht.

Edit: ich habe mir jetzt nochmal die Definition des Riemannschen Krümmungstensors angesehen. Die kann man z.B. folgendermaßen darstellen:

Sei A^c ein Vektorfeld (c = 0,1,2,3 ist der Index) und D_a die kovariante Ableitung nach der Koordinate x^a (hier ist a der Index), dann gilt

R_abc^d A^c = (D_a D_b - D_b D_a) A^d

Anschaulich gesprochen: im linken Term in der Klammer wird erst D_b auf X^d angewandt, was dem entspricht, dass man ein kleines Stück in Richtung der Koordinate x^b (z.B. t,x,y oder z) geht und ermittelt, wie sich der Wert des Vektorfeldes A^d dabei ändert, anschließend wendet man D_a an, was dasselbe in Richtung der Koordinate x^a bedeutet. Im rechten Term in der Klammer ist es umgekehrt, man geht erst ein kleine Stück in Richtung von x^a und dann in Richtung von x^b, so dass man am gleichen Punkt anlangt wie beim linken Term. Man hat also ein kleines Viereck beschrieben. Der Ausdruck auf der rechten Seite als Ganzes gibt dann an, wie groß der Unterschied in der Änderung des Wertes des Vektorfeldes zwischen den beiden Wegen (erst in in x^b-Richtung, dann in x^a-Richtung, und umgekehrt) ist.

Wenn du so willst, stehen die Indizes a und b also für die Richtungen, in denen die Seiten des kleinen Vierecks verlaufen. Bleiben noch die Indizes c und d übrig. c wird durch die Bildung des Produkts mit dem Vektorfeld A^c eliminiert. Der Index d rührt daher, dass auf der rechten Seite das Vektorfeld A^d steht, das ja vier Komponenten hat, was sich auch auf der linken Seite niederschlagen muss. Würdest du z.B. auf der rechten Seite nur eine Komponente des Vektorfeldes betrachten, z.B. A^x, so würde auf der linken Seite nur ein Teil des Krümmungstensors stehen, nämlich der, für den d=x:

R_abc^x A^c = (D_a D_b - D_b D_a) A^x

Interessanterweise würde auf der linken Seite trotzdem das ganze Vektorfeld A^c stehen, nicht nur die x-Komponente.

Vielen Dank für diese ausführliche Erkärung. Die werde ich noch mal gründlich lesen, wenn ich wacher bin und nicht gerade mitten in der Nacht, wie jetzt.

Zurzeit stelle ich mir ein Quadrat vor, welches durch die raumzeitliche Krümmung verzerrt wird. Ich weiß, dass ist etwas dürftig. - Eine anschauliche Grafik wäre hilfreich.

[Agent Scullie]

Hm - da hast Du natürlich recht. Also, ich betrachte erstmal die Krümmung der sechs 2D-Ränder des Würfels. So wie ich Wheelers Buch verstehe, erlaubt dies einen Rückschluss auf die Art Krümmung innerhalb der Schwarzschildgeometrie in einem raumzeitlichen Gebiet, dass keinerlei Impenergie enthält.
Also behaupte ich mal: Senkrecht zum Massezentrum ist die raumzeitliche Krümmung negativ, waagerecht dazu positiv.

nicht die Krümmung der Raumzeit, die Krümmungen der 6 2D-Grenzflächen. Die Krümmung der Raumzeit ist nicht durch einen Skalar beschreibbar.

Also habe ich diese richtig beschrieben?

ja.

Nun, ich versuche Wheelers anschauliche 2D-Geometrie auf die 4D-Geometrie der ART zu übertragen. Habe ich da etwas überinterpretiert?

nein, du hast zwei Dinge durcheinander gebracht.

Dies stelle ich mir als einen Punkt von 0 cm und 0 Sekunden vor. Aber ich erinnere mich natürlich, dass die Raumzeit nicht kontrahiert und somit wohl auch nicht kompromiert werden kann. Damit wollte ich nur andeuten, dass der Raum kompromiert wird und die Zeit zum Stillstand kommt.
Ich stelle mir die Raumzeit als extrem widerstandfähiges "Medium" vor, welches aber physikalisch wechselwirkt und prinzipiell genauso wie Energie und Masse verändert werden kann.
[...]

Aber die frei fallenden Koordinaten werden doch gar nicht kontrahiert, sondern nur verformt,

ich sehe gerade, für die Schwarzschildmetrik macht es eigentlich generell keinen Sinn, von einer Kontraktion des Raumes zu sprechen:

• bei einem gewöhnlichen Himmelskörper fallen frei fallende Testmassen einfach durch das Zentrum hindurch und bewegen sich dann wieder von diesem fort. Eine Ansammlung von Testmassen würde beim Fallen inerhalb des Himmelskörpers zwar komprimiert werden, nach Durchfallen des Zentrums aber wieder expandieren.
• anders bei einem schwarzen Loch, eine einmal hineingefallene Testmasse kommt nicht mehr heraus, sondern endet in der zentralen Singularität. In frei fallenden Koordinaten betrachtet kann man das so deuten, dass der Raum selbst in die Singularität hineinströmt, und dabei alles mit sich reißt. Wie du aber selbst richtig festgestellt hast, kontrahiert der Raum dabei aber nicht, eine Ansammlung von in das Loch stürzenden Testmassen behält (in frei fallenden Koordinaten betrachtet) ihr Volumen bei, sie wird nicht komprimiert, bevor sie die zentrale Singularität erreicht.

Eine Kontraktion (oder Expansion) des Raumes lässt sich folglich in der Schwarzschildmetrik nicht ausmachen. In frei fallenden Koordinaten tritt auch gar keine gravitative Zeitdilatation auf, die gibt es nur in Schwarzschildkoordinaten, und da bei einem schwarzen Loch auch nur außerhalb des EH.

Wenn negative Energiedichten den Raum u.U. kontrahieren und expandieren können, wenn der Raum des gesamten Universums dies ebenfalls kann, so dachte ich mir, könnte Masse auch ein Kontrahieren oder Kompromieren des Raumes bewirken.

das Universum wird aber auch nicht durch die Schwarzschildmetrik beschrieben, sondern durch die Robertson-Walker-Metrik. Dass sich in dieser eine Expansion/Kontraktion des Raumes definieren lässt, bedeutet nicht, dass das in der Schwarzschildmetrik genauso wäre.

Ja, vermutlich viel zu schwer für mich. Nur aus Interesse: Werden Tensoren bereits im Abitur vermittelt, oder erst im Studium?

erst im Studium, allerdings nur in Physik, nicht in Mathematik. Das könnte damit zu tun haben, dass die exakte mathematische Definition für einen Tensor das Niveau einer Grundstudiums-Mathematikvorlesung übersteigt.

Wenn benachtbarte Ereignisse in Formeln behandelt werden, taucht dann immer ein oder mehrere Male ein "d" auf? Also z.B. dx, dy, dz, dt? Und wenn dieses kleine "d" nicht auftaucht, wird auch nichts "benachtbartes" betrachtet?

das würde ich so allgemein nicht behaupten wollen.

So ganz falsch ist meine Spur also doch nicht.

keine Ahnung, ich weiß ja nicht was deine Spur ist.

Danke für diesen Hinweis. - Also beschreibt der Tensor die Krümmung als ein Gebilde, so wie man beipsielsweise auch eine Kugel mathematisch beschreiben könnte. Die Krümmung der Kugel bspw. mithilfe des Paralleltransports zu bestimmen wäre ja nicht die Beschreibung der Kugel an sich, sondern eine Messmethode.
Also sind Tensoren keine Messmethoden, sondern mathematische Beschreibungen von Feldern.

Tensoren sind keine mathematische Beschreibungen von Feldern. Ein Tensor ist nicht zwangsläufig ein Tensorfeld. Zu einem Feld gehört, dass an jedem Punkt im Raum ein Wert des Feldes definiert ist. Ein Beispiel für einen Tensor 2. Stufe, der kein Feld ist, ist der Trägheitstensor eines Körpers. Dieser verknüpft den vektoriellen Drehimpuls eines Körpers mit seiner vektoriellen Winkelgeschwindigkeit. In vielen Fällen lässt er sich auf einen Skalar reduzieren, im allgemeinen Fall jedoch nicht.

Trägheitstensor ? Wikipedia
Trägheitstensor ? Wikipedia

Ich setzte die Impenergie irrtümlich mit dem Energie-Impuls-Tensor gleich, weil ich davon ausgehe, dass jede Impenergie automatisch einen solchen Tensor hat. Daher dachte ich, wenn der Impuls-Vierervektor feststeht, hat man auch den Tensor. Da habe ich wohl zu einfach gedacht.

sofern man von einem Punktteilchen ausgeht, ist das ja auch so. Freilich ist für ein solches der Energie-Impuls-Tensor singulär, da es solches Teilchen eine unendliche Dichte hätte. Bei einem ausgedehnten Objekt braucht man neben dem Viererimpuls noch zusätzlich Informationen über die Ausdehnung und Massenverteilung, um auf den Energie-Impuls-Tensor zu kommen.

Zurzeit stelle ich mir ein Quadrat vor, welches durch die raumzeitliche Krümmung verzerrt wird. Ich weiß, dass ist etwas dürftig. - Eine anschauliche Grafik wäre hilfreich.

das kommt dem durchaus nahe. Hier ein Bild (der Text ist allerdings auf englisch):

The curvature tensor

[Halman]

nicht die Krümmung der Raumzeit, die Krümmungen der 6 2D-Grenzflächen. Die Krümmung der Raumzeit ist nicht durch einen Skalar beschreibbar.

Ja, dass leuchtet mir ein. Dummer Fehler.

ja.

nein, du hast zwei Dinge durcheinander gebracht.

Danke, dass Du mir hilfst, wieder Ordnung in meinen Kopf zu schaffen.

ich sehe gerade, für die Schwarzschildmetrik macht es eigentlich generell keinen Sinn, von einer Kontraktion des Raumes zu sprechen:

• bei einem gewöhnlichen Himmelskörper fallen frei fallende Testmassen einfach durch das Zentrum hindurch und bewegen sich dann wieder von diesem fort. Eine Ansammlung von Testmassen würde beim Fallen inerhalb des Himmelskörpers zwar komprimiert werden, nach Durchfallen des Zentrums aber wieder expandieren.
• anders bei einem schwarzen Loch, eine einmal hineingefallene Testmasse kommt nicht mehr heraus, sondern endet in der zentralen Singularität. In frei fallenden Koordinaten betrachtet kann man das so deuten, dass der Raum selbst in die Singularität hineinströmt, und dabei alles mit sich reißt. Wie du aber selbst richtig festgestellt hast, kontrahiert der Raum dabei aber nicht, eine Ansammlung von in das Loch stürzenden Testmassen behält (in frei fallenden Koordinaten betrachtet) ihr Volumen bei, sie wird nicht komprimiert, bevor sie die zentrale Singularität erreicht.

Eine Kontraktion (oder Expansion) des Raumes lässt sich folglich in der Schwarzschildmetrik nicht ausmachen. In frei fallenden Koordinaten tritt auch gar keine gravitative Zeitdilatation auf, die gibt es nur in Schwarzschildkoordinaten, und da bei einem schwarzen Loch auch nur außerhalb des EH.

Vielen Dank für die ausgesprochene logische Analyse. An dieser Stelle erinnere ich mich wieder ans "Bummerangen".
Dass keine gravitative Zeitdilatation bei frei fallenden Testmassen auftritt, überrascht mich aber nun. Wenn eine Uhr frei fällt, läuft sie nicht immer langsamer?

BTW, zurzeit muss ich bei jeder Teetasse an die Schwarzschildmetrik denken.

das Universum wird aber auch nicht durch die Schwarzschildmetrik beschrieben, sondern durch die Robertson-Walker-Metrik. Dass sich in dieser eine Expansion/Kontraktion des Raumes definieren lässt, bedeutet nicht, dass das in der Schwarzschildmetrik genauso wäre.

Beschreib die Robertson-Walker-Metrik die gekrümmte Raumzeit der Urknalltheorie? (Stichwort: Luftballon-Modell mit imaginärer Einbettungsdimension)

erst im Studium, allerdings nur in Physik, nicht in Mathematik. Das könnte damit zu tun haben, dass die exakte mathematische Definition für einen Tensor das Niveau einer Grundstudiums-Mathematikvorlesung übersteigt.

Kein Wunder, dass ich nicht mehr mitkomme. Schön, dass es Leute wie Dich gibts, die dergleichen verstehen.

das würde ich so allgemein nicht behaupten wollen.

Aber das Formelzeichen d ist doch ein typisches Merkmal dafür, dass "benachtbarte" Punkte oder Ereignisse beschrieben werden, oder?

keine Ahnung, ich weiß ja nicht was deine Spur ist.

Auf der Spur der "benachtbarten" Punkte bzw. - Ereignisse.

sofern man von einem Punktteilchen ausgeht, ist das ja auch so. Freilich ist für ein solches der Energie-Impuls-Tensor singulär, da es solches Teilchen eine unendliche Dichte hätte. Bei einem ausgedehnten Objekt braucht man neben dem Viererimpuls noch zusätzlich Informationen über die Ausdehnung und Massenverteilung, um auf den Energie-Impuls-Tensor zu kommen.

Ja, richtig, dass hatte ich nicht bedacht. Deine Erklärung ist sehr einleuchtend.
Also beschreib die Impergie lediglich Masse und Impuls. Der Energieimpulstensor darüber hinaus die Verteilung dieser Energie (bspw. Materie) als Feld.

das kommt dem durchaus nahe. Hier ein Bild (der Text ist allerdings auf englisch):

The curvature tensor

Vielen Dank für die Grafik. Ich erkenne das Quadrat aus Deiner mathematischen Erkärung aus Posting #19 wieder, die ich mir im Zusammenhang mit der Grafik noch mal durchlesen werde.

[Agent Scullie]

Vielen Dank für die ausgesprochene logische Analyse. An dieser Stelle erinnere ich mich wieder ans "Bummerangen".
Dass keine gravitative Zeitdilatation bei frei fallenden Testmassen auftritt, überrascht mich aber nun. Wenn eine Uhr frei fällt, läuft sie nicht immer langsamer?

die Aussage, dass eine Uhr langsamer geht, macht nur Sinn, wenn man angibt, im Verhältnis zu was sie denn langsamer geht. Im Verhältnis zur Koordinatenzeit in frei fallenden Koordinaten geht eine frei fallende Uhr nicht langsamer. Ob sie im Verhältnis zur Koordinatenzeit anderer Koordinatensysteme langsamer geht (z.B. Schwarzschildkoordinaten) wird dadurch so ohne weiteres nicht festgelegt.

Beschreib die Robertson-Walker-Metrik die gekrümmte Raumzeit der Urknalltheorie? (Stichwort: Luftballon-Modell mit imaginärer Einbettungsdimension)

das sind im Prinzip zwei Fragen. Hier die beiden Antworten: 1) ja, 2) das Luftballon-Modell beschreibt nur den räumlichen Anteil, und das auch nur im geschlossenen Fall.

Aber das Formelzeichen d ist doch ein typisches Merkmal dafür, dass "benachtbarte" Punkte oder Ereignisse beschrieben werden, oder?

nein, das d heißt erstmal nur, dass infinitesimal kleine Größen beteiligt sind. Die müssen nicht räumlich sein.

Also beschreib die Impergie lediglich Masse und Impuls.

und Energie.

Der Energieimpulstensor darüber hinaus die Verteilung dieser Energie (bspw. Materie) als Feld.

die 00-Komponente beschreibt die Verteilung der Energie. Die diagonalen räumlichen Komponenten beschreiben die Druckverteilung.

[Halman]

die Aussage, dass eine Uhr langsamer geht, macht nur Sinn, wenn man angibt, im Verhältnis zu was sie denn langsamer geht. Im Verhältnis zur Koordinatenzeit in frei fallenden Koordinaten geht eine frei fallende Uhr nicht langsamer. Ob sie im Verhältnis zur Koordinatenzeit anderer Koordinatensysteme langsamer geht (z.B. Schwarzschildkoordinaten) wird dadurch so ohne weiteres nicht festgelegt.

Also sind sich alle Testmassen über die Zeit einig, ihre Uhren laufen also synchron? Das ist für mich eine Überraschung, weil ich annahm, dass ihre Uhren aufgrund ihrer unterschiedlichen Position im Gravitationsfeld relativ zueinander unterschiedlich laufen müssten.
Allerdings fällt mir gerade auf, dass meine Überlegung die einzelnen Bewegungen der Testmassen außer Acht lässt. Das Gebilde verformt sich ja.

das sind im Prinzip zwei Fragen. Hier die beiden Antworten: 1) ja, 2) das Luftballon-Modell beschreibt nur den räumlichen Anteil, und das auch nur im geschlossenen Fall.

Im offenen Fall müsste es doch aber einen "Rand" geben. Bynaus wies mich mal darauf hin, dass die Beobachtung darauf hindeutet, dass es keinen Rand gibts.

nein, das d heißt erstmal nur, dass infinitesimal kleine Größen beteiligt sind. Die müssen nicht räumlich sein.

Danke für die Korrektur. Ich versuche mal was:

• dx, dy, dz = infinitesimal kleine räumliche Abstände
• dtz = infinitesimal kleiner zeitlicher Abstand
• dv = infinitesimal kleine Geschwindigeitsunterschiede

und Energie.

die 00-Komponente beschreibt die Verteilung der Energie. Die diagonalen räumlichen Komponenten beschreiben die Druckverteilung.

Die 00-Komponente leuchtet mir durchaus ein, aber warum wird die Druckverteilung beschrieben und nicht der Impuls?

[Agent Scullie]

Also sind sich alle Testmassen über die Zeit einig, ihre Uhren laufen also synchron?

dazu müsste jede Testmasse erst einmal eine Gleichzeitigkeit definieren. Das aber ist in der ART nur im SRT-Grenzfall möglich, d.h. lokal, auf Skalen, die klein sind gegen die Krümmung der Raumzeit. Ansonsten besteht nur die Möglichkeit, anhand des verwendeten Koordinatensystems festzustellen, ob eine Uhr synchron zur Koordinatenzeit ist oder nicht.

Das ist für mich eine Überraschung, weil ich annahm, dass ihre Uhren aufgrund ihrer unterschiedlichen Position im Gravitationsfeld relativ zueinander unterschiedlich laufen müssten.

die unterschiedliche Position im Gravitationsfeld führt gerade dazu, dass der SRT-Grenzfall nicht anwendbar ist. Und das wiederum führt dazu, dass es gar keinen Sinn macht, davon zu sprechen, ob ihre Uhren relativ zueinander unterschiedlich laufen.

Allerdings fällt mir gerade auf, dass meine Überlegung die einzelnen Bewegungen der Testmassen außer Acht lässt. Das Gebilde verformt sich ja.

das spielt hier keine Rolle.

Im offenen Fall müsste es doch aber einen "Rand" geben.

nicht wenn das Universum aktual unendlich ist.

Danke für die Korrektur. Ich versuche mal was:

• dx, dy, dz = infinitesimal kleine räumliche Abstände
• dtz = infinitesimal kleiner zeitlicher Abstand
• dv = infinitesimal kleine Geschwindigeitsunterschiede

wenn du jetzt noch dtz durch dt ersetzt, stimmt es.

Die 00-Komponente leuchtet mir durchaus ein, aber warum wird die Druckverteilung beschrieben und nicht der Impuls?

der räumliche Anteil des Energie-Impuls-Tensors entspricht der Impulsstromdichte. Bei einer Flüssigkeit hängt diese mit dem Druck zusammen:

Druck - SystemPhysik

Edit: um dir mal den Zusammenhang zwischen Impulsstromdichte und Druck deutlicher zu machen, stell dir eine Flüssigkeit vor, die insgesamt in Ruhe ist (z.B. Wasser in einem Glas), deren Teilchen jedoch in ständiger, ungeordneter Bewegung sind. Die Geschwindigkeit der Teilchen ist im Mittel null, da die mittlere Zahl von Teilchen, die in eine bestimmte Richtung strömen, durch eine gleich große Zahl an Teilchen, die in die Gegenrichtung strömen, kompensiert wird. Entsprechend ist auch der mittlere Impuls der Teilchen null. Nicht null ist jedoch die Impulsstromdichte: nimm ein Teilchen, das sich in positive x-Richtung bewegt. Der Impuls dieses Teilchens hat eine positive x-Komponente, d.h. das Teilchen transportiert eine positive x-Impulskomponente in positive x-Richtung. Dies bedeutet einen positiven Beitrag zur xx-Komponente der Impulsstromdichte. Nimm ein zweites Teilchen, das sich entgegengesetzt, in negative x-Richtung, bewegt. Dessen x-Impulskomponente ist negativ, es transportiert folglich eine negative x-Impulskomponente in negative x-Richtung, was wieder einen positiven Beitrag zur xx-Komponete der Impulsstromdichte bedeutet (minus mal minus gibt plus). Da bei allen Teilchen der Flüssigkeit Bewegungsrichtung und Impulsrichtung identisch sind, ergibt sich stets ein positiver Beitrag zur Impulsstromdichte T, allerdings nur zu den Diagonalkomponenten T_xx, T_yy, T_zz.

Was hat das jetzt mit dem Druck zu tun? Ganz einfach: der Druck der Flüssigkeit auf die Gefäßwand, oder auf einen in die Flüssigkeit eingelassenen Drucksensor, resultiert daraus, dass fortwährend Flüssigkeitsteilchen auf die Wand bzw. den Sensor prasseln. Das wiederum liegt daran, dass die Teilchen in ständiger Bewegung sind. Wären alle Teilchen in Ruhe (nicht nur im Mittel, sondern jedes einzelne für sich betrachtet), dann würden keine Teilchen gegen die Gefäßwand stoßen, und es gäbe keinen Druck. Nach dem oben erläuterten wäre das damit gleichbedeutend, dass die Impulsstromdichte null wäre. Wenn die Teilchen in Bewegung sind, stoßen sie forwährend gegen die Gefäßwand, und die Impulsstromdichte ist ungleich null. Je schneller sich die Teilchen bewegen, desto häufig stoßen sie gegen die Gefäßwände, desto höher ist folglich der Druck, und desto höher ist zugleich die Impulsstromdichte.

[Halman]

dazu müsste jede Testmasse erst einmal eine Gleichzeitigkeit definieren. Das aber ist in der ART nur im SRT-Grenzfall möglich, d.h. lokal, auf Skalen, die klein sind gegen die Krümmung der Raumzeit.

Also klein genug, so dass wir die Raumzeit als flach ansehen können, richtig?

Ansonsten besteht nur die Möglichkeit, anhand des verwendeten Koordinatensystems festzustellen, ob eine Uhr synchron zur Koordinatenzeit ist oder nicht.

Also wird die Uhr mit dem Koordinatensystem verglichen. Leider vermag ich mir darunter nichts vorzustellen. Zwar las ich mal, dass unsere Erde für uns unser Koordinatensystem bildet, also ein Bezugssystem. Aber dies meintest Du natürlich nicht. Wozu setzt Du die Uhr der Testmasse also in Beziehung?

die unterschiedliche Position im Gravitationsfeld führt gerade dazu, dass der SRT-Grenzfall nicht anwendbar ist. Und das wiederum führt dazu, dass es gar keinen Sinn macht, davon zu sprechen, ob ihre Uhren relativ zueinander unterschiedlich laufen.

Nun-ja, miss man nicht auch den Effekt der gravitativen Zeitdilatation? Mag sein, dass ich lernen sollte, klarer zwischen SRT und ART abzugrenzen, aber wieso sollte es keinen Sinn machen, die Abweichungen im Lauf der Uhren zu betrachten?

nicht wenn das Universum aktual unendlich ist.

Wie sollte dies bei einem Urknallmodell möglich sein?

wenn du jetzt noch dtz durch dt ersetzt, stimmt es.

Ja, wirklich ein blöder Fehler von mir. Da habe ich mich nur vertippt. (Mit dem dtz wollte ich nicht etwa eine Raumzeit beschreiben. )

der räumliche Anteil des Energie-Impuls-Tensors entspricht der Impulsstromdichte. Bei einer Flüssigkeit hängt diese mit dem Druck zusammen:
...

Vielen Dank für Deine ausführliche und verständliche Erklärung, Agent Scullie. Dies erinnert mich ein bisschen daran, dass zwar die Krümmungen der Flächen eines kleinen Würfels in der Schwarzschild-Geometrie sich zu Null addieren, aber das Rotationsmoment eben mitnichten Null ist.
So addieren sich zwar die Impulse beim Gas zu Null, aber der Druck ist verschieden von Null. Dies leuchtet mir ein.

[Agent Scullie]

Also klein genug, so dass wir die Raumzeit als flach ansehen können, richtig?

genau.

Also wird die Uhr mit dem Koordinatensystem verglichen. Leider vermag ich mir darunter nichts vorzustellen. Zwar las ich mal, dass unsere Erde für uns unser Koordinatensystem bildet, also ein Bezugssystem.

der Unterschied zwischen dem Begriff des Bezugssystems und dem des Koordinatensystems ist der, dass ein Bezugssystem ein sehr spezielles Koordinatensystem ist. Ein Bezugssystem lässt sich jedoch global nur in einer flachen Raumzeit konstruieren, so ähnlich wie ein kartesisches Koordinatensystem nur in einem flachen Raum konstruierbar ist, nicht in einem gekrümmten. Eng mit dem Bezugssystembegriff verknüpft ist das Prinzip der Uhrensynchronisation und damit der Gleichzeitigkeit. In der SRT, d.h. in einer flachen Raumzeit, lässt sich aus dem Bewegungszustand eines Beobachters eindeutig ermitteln, welche Ereignisse er als gleichzeitig ansieht. In der ART ist das nicht mehr möglich. Dort hat man, selbst nach Festlegung auf einen bestimmten Beobachter, noch immer eine große Freiheit in der Wahl des Koordinatensystems und der Gleichzeitigkeit. Sogar dann, wenn man sich auf eine Gleichzeitigkeit festgelegt hat, d.h. eine bestimmte Folation der Raumzeit in raumartige Hyperflächen vorgenommen hat, hat man noch viele Freiheiten in der Wahl des Koordinatensystems.

Aber dies meintest Du natürlich nicht. Wozu setzt Du die Uhr der Testmasse also in Beziehung?

zur Koordinatenzeit des Koordinatensystems.

Nun-ja, miss man nicht auch den Effekt der gravitativen Zeitdilatation? Mag sein, dass ich lernen sollte, klarer zwischen SRT und ART abzugrenzen, aber wieso sollte es keinen Sinn machen, die Abweichungen im Lauf der Uhren zu betrachten?

bei der Messung der gravitativen Zeitdilatation hat man mehrere Möglichkeiten:

1. Bei Beginn der Messung setzt man die beiden zur Messung benutzten Uhren direkt nebeneinander, bewegt sie dann auseinander, lässt sich dann lange Zeit räumlich getrennt im Schwerefeld ruhen, und bewegt sie anschließend wieder zusammen, und vergleicht dann ihre Anzeigen. Dann hat man gar nicht zwei räumlich getrennte Uhren verglichen, sondern zwei sich begnende Uhren bei den Begegnungen
2. Man lässt die beiden Uhren die ganze Zeit räumlich getrennt. Zum Vergleich beider Uhren verwendet man Lichtsignale ohne Lichtlaufzeitkorrektur. Dann vergleicht man letztlich nicht zwei räumlich getrennte Uhren, sondern eine Uhr und ein bei ihr eintreffendes Lichtsignal.
3. Man macht eine Lichtlaufzeitkorrektur unter expliziter Zugrundelegung von Schwarzschildkoordinaten. D.h. man geht von der bekannten Lichtausbreitung in Schwarzschildkoordinaten aus. Vorausgesetzt, die Schwarzschildmetrik beschreibt das Gravitationsfeld korrekt, kommt dabei trivialerweise die gravitative Zeitdilatation in Schwarzschildkoordinaten heraus.

Wie sollte dies bei einem Urknallmodell möglich sein?

wo liegt das Problem?
(ich setze voraus, dass dir bekannt ist, dass die Expansion des Universums eine Expansion des Raumes ist, kein Auseinanderstreben der Galaxien in einem unveränderlichen Raum)

[Halman]

In der SRT, d.h. in einer flachen Raumzeit, lässt sich aus dem Bewegungszustand eines Beobachters eindeutig ermitteln, welche Ereignisse er als gleichzeitig ansieht. In der ART ist das nicht mehr möglich. Dort hat man, selbst nach Festlegung auf einen bestimmten Beobachter, noch immer eine große Freiheit in der Wahl des Koordinatensystems und der Gleichzeitigkeit. Sogar dann, wenn man sich auf eine Gleichzeitigkeit festgelegt hat, d.h. eine bestimmte Folation der Raumzeit in raumartige Hyperflächen vorgenommen hat, hat man noch viele Freiheiten in der Wahl des Koordinatensystems.

Das heißt, dass all die berühmten Folgerungen, wie das Zwillingsparadoxon, nur im Grenfall der SRT mit Sicherheit gelten und man diese nicht einfach 1:1 auf die ART übertragen darf. Es ist also sehr viel komplizierter.
Vor einiger Zeit habe ich mal aufgeschnappt, dass GPS nur funktioniert, wenn man die relativistischen Effekte berücksichtig. Aber hier wird es für mich recht unüberschaubar.

1. Aufgrund der höheren Geschwindigkeit der Satelliten müssten ihre Uhren langsamer gehen.
2. Aufgrund ihrer größeren Entfernung vom Gravitatinszentrum müssten ihre Uhren schneller gehen.

Welche Zeitdilatationseffekt überwiegt hier?

bei der Messung der gravitativen Zeitdilatation hat man mehrere Möglichkeiten:

1. Bei Beginn der Messung setzt man die beiden zur Messung benutzten Uhren direkt nebeneinander, bewegt sie dann auseinander, lässt sich dann lange Zeit räumlich getrennt im Schwerefeld ruhen, und bewegt sie anschließend wieder zusammen, und vergleicht dann ihre Anzeigen. Dann hat man gar nicht zwei räumlich getrennte Uhren verglichen, sondern zwei sich begnende Uhren bei den Begegnungen
2. Man lässt die beiden Uhren die ganze Zeit räumlich getrennt. Zum Vergleich beider Uhren verwendet man Lichtsignale ohne Lichtlaufzeitkorrektur. Dann vergleicht man letztlich nicht zwei räumlich getrennte Uhren, sondern eine Uhr und ein bei ihr eintreffendes Lichtsignal.
3. Man macht eine Lichtlaufzeitkorrektur unter expliziter Zugrundelegung von Schwarzschildkoordinaten. D.h. man geht von der bekannten Lichtausbreitung in Schwarzschildkoordinaten aus. Vorausgesetzt, die Schwarzschildmetrik beschreibt das Gravitationsfeld korrekt, kommt dabei trivialerweise die gravitative Zeitdilatation in Schwarzschildkoordinaten heraus.

Okay, ich habe nicht hinreichend bedacht, wie man denn die Uhren miteinander vergleichen will. Danke für Deine sehr gute Erläuterung, sie leuchtet mir ein.
Auf die Zeitdilatation in Schwarzschildkoordinaten wollte ich hinaus.

wo liegt das Problem?
(ich setze voraus, dass dir bekannt ist, dass die Expansion des Universums eine Expansion des Raumes ist, kein Auseinanderstreben der Galaxien in einem unveränderlichen Raum)

Das kannst Du bei mir auch voraussetzen. Mein Problem liegt in der Zeit, die das Universum zur Expansion des Raumes bis heute hatte.
Soweit ich weiß, stimmen nach gegenwärtigen Erkenntnissen alle gültigen Kosmologien darin überein, dass diese vor rund 13,7 Milliarden Jahren begann. Wie kann sich der Raum - beginnend von der Größe Null in der Anfangssingularität - innhalb einer endlichen Zeitspanne zur Unendlichkeit ausdehnen?
Selbst eine Inflationsphase scheint mir dies nicht zu ermöglichen, wenn damit auch eine schnellere Expansion erklärbar wird.

[Agent Scullie]

Das heißt, dass all die berühmten Folgerungen, wie das Zwillingsparadoxon, nur im Grenfall der SRT mit Sicherheit gelten

beim Zwillingsparadoxon hat man ja zwei Uhren, die sich zweimal begegnen, und bei denen man daher direkt die zwischen beiden Begegnungen verstrichenen Eigenzeiten vergleichen kann. Das bleibt auch in der ART so. Problematisch wird es erst, wenn man räumliche getrennte Uhren vergleichen will.

Vor einiger Zeit habe ich mal aufgeschnappt, dass GPS nur funktioniert, wenn man die relativistischen Effekte berücksichtig. Aber hier wird es für mich recht unüberschaubar.

1. Aufgrund der höheren Geschwindigkeit der Satelliten müssten ihre Uhren langsamer gehen.
2. Aufgrund ihrer größeren Entfernung vom Gravitatinszentrum müssten ihre Uhren schneller gehen.

Welche Zeitdilatationseffekt überwiegt hier?

siehe dazu:

Zeitdilatation ? Wikipedia

Das kannst Du bei mir auch voraussetzen. Mein Problem liegt in der Zeit, die das Universum zur Expansion des Raumes bis heute hatte.
Soweit ich weiß, stimmen nach gegenwärtigen Erkenntnissen alle gültigen Kosmologien darin überein, dass diese vor rund 13,7 Milliarden Jahren begann. Wie kann sich der Raum - beginnend von der Größe Null in der Anfangssingularität - innhalb einer endlichen Zeitspanne zur Unendlichkeit ausdehnen?

ganz einfach: gar nicht. Er braucht sich nämlich nicht zur Unendlichkeit ausdehnen, da er von vornerhein unendlich ist. Im flachen und offenen Fall ist das Universum zu jeder Zeit nach dem Urknall unendlich groß. Über seine Größe im Augenblick der Anfangssingularität selbst ist keine Aussage möglich, dort steht nur fest, dass die Energiedichte unendlich ist. Da man bei einem aktual unendlichen Universum die Expansion nicht durch die Zunahme des Gesamtradius des Universums beschreiben kann, hat man als Kenngröße den Skalenfaktor eingeführt. Dieser ist im Augenblick des Urknalls null und hat danach stets einen endlichen Wert.

[Halman]

In einer Diskussion in einem anderem Forum sollte ich ein Beispiel für Populärwissenschaft präsentieren, welche zu Fehlschlüssen verleitet. Folgenden Link hatte ich rausgesucht Das Geheimnis der Gravitation - Druck-Gravitation - PM Online

Doch folgende Ausage daraus verunsichert mich nun doch ein wenig:

Auch Einstein trug nichts zur Klärung bei, im Gegenteil. Seine Formeln waren so kompliziert, dass sogar Rechtschreibfehler sinnvolle Resultate lieferten. Seine Theorie (1916) war nicht imstande, die einfache Anziehungskraft zweier Körper richtig zu berechnen, eine Tatsache, die erst in den Neunzigerjahren des 20. Jahrhunderts dem amerikanischen Physiker Hüseyin Yilmaz auffiel. Statt des Newton’schen Wertes kam bei Einstein »null« heraus – ein offensichtlicher Unsinn.

Welcher angeblich "offentichtliche Unsinn" fiel denn dem Physiker Hüseyin Yilmaz auf?