Gravitation und Raumzeit - Fragen und Diskussion

[Halman]

Aufgrund des Buches Gravitation und Raumzeit - Die vierdimensionale Welt der Relativitätstheorie von John A. Wheeler führte ich vor einiger Zeit eine kurze PN-Diskussion mit Agent Scullie.
Nun habe ich mich entschlossen, über dieses Thema ein neuen Thread zu erstellen und den größten Teil meiner ersten PN für die Eröffnungspost zu verwenden. (Für Agent Scullie verweise ich auch auf Kapitel, Seiten und Excurse im Buch, damit er nicht alles selbst mühsam raussuchen muss. Lass euch davon bitte nicht irritieren.)


Besondere Verständisprobleme hatte ich beim Lesen Buches beim täuschend harmlosen Tiel "Steine im Flug und Planeten in Umlaufbahnen" (Kapitel 10).
Die Verständisprobleme sind übrigens in diesem Fall allein auf mich zurückzuführen. Wheelers Buch über die Realtivitätstheorie ist das beste populärwissenschaftliche Werk zum Thema, welches ich je gelesen hatte. (Es war ja auch eine Empfehlung von Agent Scullie, die ich nur weitergeben kann.) Es verbindet Anschaulichkeit und leichte Verständlichkeit mit Genauigkeit.

Die erste Frage bezieht sich auf den Begriff Radian (Exkurs 5.1 auf Seite 91).
Habe ich es so richtig im Sinn behalten, dass man als Radian ein möglichst kleines Kreissegment nimmt und es sich gewissermaßen um eine fast genaue "Annäherungsrechnung" an den tatsächlichen Wert handelt? Man nimmt also zwei "benachbarte" Punkte auf dem Kreis, verbindet sie durch eine gerade Linie, welche kaum von der tatsächlichen Bogenlänge abweicht und geht davon als die Bogenlänge aus?

Die zweite Frage bezieht sich auf das Bild auf Seite 137: Warum ist die obere Grafik, die die Schwarzschildmetrik eines Schwarzen Loches darstellt, wie der mathematische Plot eines Wurmloches ...

... und nicht so dargestellt?


Meine dritte Frage bezieht sich auf das Kapitel 9 "Raum und Raumzeit in der Umgebung eines Massenzentrums", insbesondere auf "Exkurs 9.1. Genaugenommen verstehe ich die komplette Seite 165 leider nicht.

Bezeichnet die Schwarzschildradial-Koordinate r den Abstand von der "Achse" (die Ameise ist ein Stück nach oben gekrappelt) und die Winkelkoordinate d den Abstand vom benachbarten Punkt, also die Bogenlänge (die benachbarte Ameise in der Phalanx)?

Und m steht also für das geometrische Maß der Masse. Aber damit ist nicht der Schwarzschildradius gemeint, oder? Denn das geometrische Maß für ein schwarzes Loch mit 10 Sonnenmassen ist ja auch genau 10 mal so groß wie das der Sonne, also ein Längenmaß (Seiten 184 und 185).

Meine vorerst letzte Frage bezieht sich auf die radiale Bewegung und transversale Bewegung in Kapitel 10 (Seiten 178 und 179).
Verstehe ich es richtig, wenn ich annehme, dass die radiale Bewegung bei einer vollkommen kreisförmigen Bahn (nach Kopernikus) Null beträgt? Hat das nicht etwas mit den Radialkoordianten, also dem Abstand vom Gravitationszentrum, zu tun?
Dann wäre die Transversalbewegung also die Umlaufgeschwindigkeit, richtig?


BTW die Ameisen verwendete Wheeler zwecks Veranschaulichung. Sie krappeln in einer Phalanx die gekrümmte Fläche eines Porzellanparaboloids hoch und hinterlassen in gleichmäßigen Abständen rote Farbtupfer. Die gekrümmte Fläche veranschaulicht (um eine Dimension reduziert) die Raumkrümmung um ein kugelsymmetrisches Massezentrum (Schwarzschild-Lösung). Je weiter die Ameisen "nach oben" krappeln, je weiter entfernen sich die roten Makierungen voneinander. Verbindet man die Linien, auf denen die Ameisen gelaufen sind, erkennt man die relative Krümmung.
Die Ameisen könnten diese Krümmung ihrer 2-D-Welt ganz ohne dritte Dimension, anhand dieser relativen Krümmung anhand der Markierungen erkennen. Die gedachte Einbettungsdimension ist also überflüssig, um eine Raumkrümmung zu definieren und dient nur als geometrisches Hilfsmittel.
Der Porzellanparaboloid veranschaulicht mit seiner äußeren Krümmung also die innere Krümmung des Raumes. (Die Zeit wird hierbei erstmal vernachlässigt).

[Halman]

Agent Scullie hat mir freundlicherweise erlaubt, seine Antworten zu meinen Fragen aus unserer PN-Diskussion vom April diesen Jahres in diesem Thread zu posten.
(Es folgen insgesamt noch drei weitere Beträge aus der PN-Diskussion.)
BTW habe ich die Anworten aus den PNs für die Öffentlichkeit leicht gekürzt, aber nur das Unwesendliche rausgschnitten, was lediglich für die PNs von Bedeutung war.

Inzwischen bin ich bis Kapitel 10 mit dem täuschend harmlosen Tiel "Steine im Flug und Planeten in Umlaufbahnen" gelangt.
Es mag Dich überraschen, aber aus meiner bescheidenen Perspektive hat es das Buch wirklich in sich und erscheint mir alles andere als einfach (besonders Kapitel 9).

nun, es sind sicher nicht alle Kapitel gleichermaßen einfach. Jedoch habe ich noch kein anderes Buch gesehen, dass annähernd gleichem Maße Einfachheit mit Exaktheit zu verbinden versteht. Es gibt zweifellos Bücher, die einfach zu verstehen sind - die vermitteln aber auch viel weniger Information.

Die erste Frage bezieht sich auf den Exkurs 5.1 auf Seite 91.
Habe ich es so richtig im Sinn behalten, dass man als Radian ein möglichst kleines Kreissegment nimmt und es sich gewissermaßen um eine fast genaue "Annäherungsrechnung" an den tatsächlichen Wert handelt? Man nimmt also zwei "benachbarte" Punkte auf dem Kreis, verbindet sie durch eine gerade Linie, welche kaum von der tatsächlichen Bogenlänge abweicht und geht davon als die Bogenlänge aus?

sieht wohl so aus. Mit diesem Exkurs habe ich mich eigentlich nie näher beschäftigt.

Die zweite Frage bezieht sich auf das Bild auf Seite 137: Warum ist die obere Grafik, die die Schwarzschildmetrik eines Schwarzen Loches darstellt, wie der mathematische Plot eines Wurmloches ...

... und nicht so dargestellt?

ja, Wheeler lässt einen hier wirklich im Regen stehen. Auf den Innenraum schwarzer Löcher und auf Wurmlöcher geht er ja auch überhaupt nicht ein.

Wie du aber auf

White Holes and Wormholes

nachlesen kannst (ist allerdings auf Englisch), kann man, wenn man durch Einführung von Kruskalkoordinaten die Schwarzschildmetrik maximal erweitert, zu folgender Sichtweise gelangen:

In Schwarzschildkoordinaten sieht es aus, dass der Ereignishorizont der Schlund eines Wurmloches ist, der zwei Regionen des Universums verbindet. Dass Erreichen dieses Schlunds ist aber nur in unendlich ferner Schwarzschild-Koordinatenzeitzukunft möglich. Wechselt man in Kruskalkoordinaten, in denen der EH in endlicher Zeit erreichbar ist, so zeigt sich, dass sich der Schlund zusammenzieht und abschnürt, wodurch sich dann die beiden Singularitäten in den Zentren der beiden verbundenen schwarzen Löcher bilden. Das Abschnüren der Wurmlochverbindung geht so schnell, dass kein einfallendes Objekt die Verbindung passieren kann, in Übereinstimmung damit, dass im Kruskal-Raumzeitdiagramm die beiden verbundenen Regionen des Universums raumartig getrennt sind.

Die Eigenschaft der Schwarzschildmetrik, eine Wurmlochlösung zuzulassen, war es auch, die 1935 Einstein und Rosen zur Idee der Einstein-Rosen-Brücke führte.

Hier:

Collapse to a Black Hole

wird dann aber deutlich, dass die vollständige Schwarzschildmetrik gar keine realistische Beschreibung eines schwarzen Loches, das aus dem Kollaps eines Vorgängerobjekts (z.B. eines Sterns) hervorgegangen ist, darstellt.

Meine dritte Frage bezieht sich auf das Kapitel 9 "Raum und Raumzeit in der Umgebung eines Massenzentrums", insbesondere auf "Exkurs 9.1. Genaugenommen verstehe ich die komplette Seite 165 leider nicht.

Bezeichnet die Schwarzschildradial-Koordinate r den Abstand von der "Achse" (die Ameise ist ein stück nach oben gekrappelt) und die Winkelkoordinate d den Abstand vom benachbarten Punkt, also die Bogenlänge (die benachbarte Ameise in der Phalanx)?

r ist der Abstand von der Achse im einbettenden Hilfsraum (die rotbraune Kante des rosanen Dreiecks in der Grafik). d(Abstand) ist der Streckenabschnitt auf der grünen Kurve, d.h. das Maß, um den sich der Abstand im gekrümmten Raum vom Ereignishorizont (dem Schnittpunkt der grünen Kurve mit der dünnen schwarzen Linie) vergrößert. Eine Winkelkoordinate taucht gar nicht auf bzw. sie ist konstant, es wird ja eine radiale Bewegung betrachtet.

Nur auf den vorangehenden Seiten, 162 und 163, und der dortigen Grafik 9.3, spielt die Winkelkoordinate eine Rolle.

Und m steht also für das geometrische Maß der Masse. Aber damit ist nicht der Schwarzschildradius gemeint, oder? Denn das geometrische Maß für ein schwarzes Loch mit 10 Sonnenmassen ist ja auch genau 10 mal so groß wie das der Sonne, also ein Längenmaß (Seiten 184 und 185).

der Schwarzschilradius ist 2m. Das wird auch an der Grafik in Exkurs 9.1 deutlich: die grüne Kurve reicht nicht in den Bereich r < 2m, da sie bei r = 2m gerade senkrecht wird.

Meine vorerst letzte Frage bezieht sich auf die radiale Bewegung und transversale Bewegung in Kapitel 10 (Seiten 178 und 179).
Verstehe ich es richtig, wenn ich annehme, dass die radiale Bewegung bei einer vollkommen kreisförmigen Bahn (nach Kopernikus) Null beträgt? Hat das nicht etwas mit den Radialkoordianten, also dem Abstand vom Gravitationszentrum, zu tun?
Dann wäre die Transversalbewegung also die Umlaufgeschwindigkeit, richtig?

ganz recht. Bei einer exakten Kreisbahn gibt es keinen radialen Bewegungsanteil, und die Geschwindigkeit der Transversalbewegung ist dann die Umlaufgeschwindigkeit. In den Abbildungen 10.5 und 10.6 bedeutet das gerade, dass sich das betreffende Objekte am Boden des Energietals, rechts vom "Hügel", befindet.

[Halman]

Einstein-Rosen-Brücke und Schwarzschildmetrik ...

nun, es sind sicher nicht alle Kapitel gleichermaßen einfach. Jedoch habe ich noch kein anderes Buch gesehen, dass annähernd gleichem Maße Einfachheit mit Exaktheit zu verbinden versteht. Es gibt zweifellos Bücher, die einfach zu verstehen sind - die vermitteln aber auch viel weniger Information.

Das ist wahr. In Wheelers Buch habe ich Dinge gelesen, von denen ich zuvor noch nie etwas gehört hatte. Wie z. B. über positive und negative Krümmung der Raumzeit.
Wie ich in einer Diskussion mit Dir im Thread über Masse in der Relativitätstheorie feststellen musste, enthalten gewisse leichter verständliche Bücher sogar Fehler.

ja, Wheeler lässt einen hier wirklich im Regen stehen. Auf den Innenraum schwarzer Löcher und auf Wurmlöcher geht er ja auch überhaupt nicht ein.

Wie du aber auf

White Holes and Wormholes

nachlesen kannst (ist allerdings auf Englisch), kann man, wenn man durch Einführung von Kruskalkoordinaten die Schwarzschildmetrik maximal erweitert, zu folgender Sichtweise gelangen:

In Schwarzschildkoordinaten sieht es aus, dass der Ereignishorizont der Schlund eines Wurmloches ist, der zwei Regionen des Universums verbindet. Dass Erreichen dieses Schlunds ist aber nur in unendlich ferner Schwarzschild-Koordinatenzeitzukunft möglich. Wechselt man in Kruskalkoordinaten, in denen der EH in endlicher Zeit erreichbar ist, so zeigt sich, dass sich der Schlund zusammenzieht und abschnürt, wodurch sich dann die beiden Singularitäten in den Zentren der beiden verbundenen schwarzen Löcher bilden. Das Abschnüren der Wurmlochverbindung geht so schnell, dass kein einfallendes Objekt die Verbindung passieren kann, in Übereinstimmung damit, dass im Kruskal-Raumzeitdiagramm die beiden verbundenen Regionen des Universums raumartig getrennt sind.

Die Eigenschaft der Schwarzschildmetrik, eine Wurmlochlösung zuzulassen, war es auch, die 1935 Einstein und Rosen zur Idee der Einstein-Rosen-Brücke führte.

Hier:

Collapse to a Black Hole

wird dann aber deutlich, dass die vollständige Schwarzschildmetrik gar keine realistische Beschreibung eines schwarzen Loches, das aus dem Kollaps eines Vorgängerobjekts (z.B. eines Sterns) hervorgegangen ist, darstellt.

Danke für die ausführliche Erklärung, Agent Scullie . Den Link werde ich mir mal ansehen, wenn ich das Buch gelesen habe (Anfang Mai muss ich es abgeben ).

Lag die Einstein-Rosen-Brücke nicht auch dem Film "Das Schwarze Loch" als Idee zugrunde?
(Einer meiner Brüder war mal ganz begeistert vom Buch "Die eiserne Sonne" von Adrian Berry, in dem es um die Überwindung der Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe der Schwarzen Löcher geht.)

r ist der Abstand von der Achse im einbettenden Hilfsraum (die rotbraune Kante des rosanen Dreiecks in der Grafik). d(Abstand) ist der Streckenabschnitt auf der grünen Kurve, d.h. das Maß, um den sich der Abstand im gekrümmten Raum vom Ereignishorizont (dem Schnittpunkt der grünen Kurve mit der dünnen schwarzen Linie) vergrößert. Eine Winkelkoordinate taucht gar nicht auf bzw. sie ist konstant, es wird ja eine radiale Bewegung betrachtet.

Nur auf den vorangehenden Seiten, 162 und 163, und der dortigen Grafik 9.3, spielt die Winkelkoordinate eine Rolle.

Meine Schwierigkeit beim Verstehen liegt wohl auch darin begründet, dass ich mir die Bedeutung der ganzen Variablen merken muss, während ich gleichzeitig immer versuche, mit das Ganze bildlich im realen 3D-Raum vorzustellen und ganz nebenbei auch noch den den Text in mir aufnehmen und verstehen muss.
Also, aus den ringförmig angeordeten roten Farbtupfern auf dem Porzellanparaboloid werden in meinem Kopf kugelförmige "Schalen" usw.

Auf der Grafik im Exkurs 9.1 ist also nur die grüne Linie real, quasi der grüne Porzellanparaboloid.

der Schwarzschilradius ist 2m. Das wird auch an der Grafik in Exkurs 9.1 deutlich: die grüne Kurve reicht nicht in den Bereich r < 2m, da sie bei r = 2m gerade senkrecht wird.

Wenn also das geometrische Maß für die Erdmasse 4,44 mm ist, dann ist der Schwarzschildradius also noch kleiner.
Habe ich es so richtig verstanden, wenn ich annehme, dass das geometrische Maß für die Sonne (1476 m) der Halbe Umfang des Schwarzschildradiusses ist? Da habe ich doch bestimmt ein Denkfehler drinnen (reduzierter Umfang ).

ganz recht. Bei einer exakten Kreisbahn gibt es keinen radialen Bewegungsanteil, und die Geschwindigkeit der Transversalbewegung ist dann die Umlaufgeschwindigkeit. In den Abbildungen 10.5 und 10.6 bedeutet das gerade, dass sich das betreffende Objekte am Boden des Energietals, rechts vom "Hügel", befindet.

Ich habe was begriffen.

Die Hügel stellen also die äußersten Punkte der Umlaufbahn mit der höchsten potentiellen Energie dar, richtig? (Das Tal dann die höchste kinetische Energie.)

[Halman]

Und hier die nächste Antwort von Agent Scullie aus der PN-Diskussion

Lag die Einstein-Rosen-Brücke nicht auch dem Film "Das Schwarze Loch" als Idee zugrunde?

da steckt wohl einfach die Idee hinter, dass sich in einem schwarzen Loch ein Wurmloch bilden kann. Dabei ging es aber wohl eher um rotierende schwarze Löcher.

...

Wenn also das geometrische Maß für die Erdmasse 4,44 mm ist, dann ist der Schwarzschildradius also noch kleiner.

nee, größer. Doppelt so groß, 8,88 mm ~ 9 mm, um genau zu sein.

Habe ich es so richtig verstanden, wenn ich annehme, dass das geometrische Maß für die Sonne (1476 m) der Halbe Umfang des Schwarzschildradiusses ist? Da habe ich doch bestimmt ein Denkfehler drinnen (reduzierter Umfang ).

der reduzierte Umfang ist der Umfang durch 2pi geteilt. In einem flachen Raum wäre das einfach der Radius - in einem gekrümmten Raum dagegen nur die Radialkoordinate. Man hat den reduzierten Umfang eingeführt, um die Radialkoordinate ohne Rückgriff auf einen einbettenden Hilfsraum (wo sie den Abstand zur Achse darstellt) ausdrücken zu können. Der Umfang eines Kreises, dessen Radialkoordinate gleich dem Schwarzschildradius ist: r = rs = 2m, ist also

U = 2pi r = 4 pi m

Das geometrische Maß für die Masse, m, ist somit der halbe reduzierte Umfang, was mit dem halben Schwarzschildradius übereinstimmt, bzw. mit dem Umfang dividiert durch 4 pi:

m = rs/2 = U / (4 pi)

Der Schwarzschilradius der Sonne beträgt daher

rs = 2*1476 m = 2952 m ~ 3 km

und der Umfang des EH der Sonne als schwarzes Loch

U = 2pi * rs = 2 pi * 2952 m = 18 547 m

Die Hügel stellen also die äußersten Punkte der Umlaufbahn mit der höchsten potentiellen Energie dar, richtig? (Das Tal dann die höchste kinetische Energie.)

sofern du mit der kinetischen Energie nur die der radialen Bewegung meinst. Die kinetische Energie der Umlaufbewegung steckt als Zentrifugalpotential in der potentiellen Energie (darum überhaupt der linke Energiehügel), da du dich im mitrotierenden System befindest.

[Halman]

Letztes Posting aus der PN-Diskussion

nee, größer. Doppelt so groß, 8,88 mm ~ 9 mm, um genau zu sein.

(Das schiebe ich mal auf den Konzentratinosmangel.)

der reduzierte Umfang ist der Umfang durch 2pi geteilt. In einem flachen Raum wäre das einfach der Radius - in einem gekrümmten Raum dagegen nur die Radialkoordinate. Man hat den reduzierten Umfang eingeführt, um die Radialkoordinate ohne Rückgriff auf einen einbettenden Hilfsraum (wo sie den Abstand zur Achse darstellt) ausdrücken zu können. Der Umfang eines Kreises, dessen Radialkoordinate gleich dem Schwarzschildradius ist: r = rs = 2m, ist also

U = 2pi r = 4 pi m

Das geometrische Maß für die Masse, m, ist somit der halbe reduzierte Umfang, was mit dem halben Schwarzschildradius übereinstimmt, bzw. mit dem Umfang dividiert durch 4 pi:

m = rs/2 = U / (4 pi)

Der Schwarzschilradius der Sonne beträgt daher

rs = 2*1476 m = 2952 m ~ 3 km

und der Umfang des EH der Sonne als schwarzes Loch

U = 2pi * rs = 2 pi * 2952 m = 18 547 m

Danke für die gute Zusammenfassung.
Dann war es tatsächlich mangelnde Konzentration. Es ist so, dass ich nebenei noch andere Dinge zu tun habe (...) und das Buch eine Menge Informationen enthält. John Wheeler greift ja gerne auf bereits vermitteltes Wissen zurück und setzt voraus, dass man das dann weiß. Aber eine Fülle von Stoff nur über das Lesen aufzunehmen fiel mir schon immer schwer.

sofern du mit der kinetischen Energie nur die der radialen Bewegung meinst. Die kinetische Energie der Umlaufbewegung steckt als Zentrifugalpotential in der potentiellen Energie (darum überhaupt der linke Energiehügel), da du dich im mitrotierenden System befindest.

Das werde ich mir gleich noch mal durchlesen. Insbesondere den Exkurs 10.1 und die Erklärung zum Bild 10.6.

Das war also das letzte Posting aus meiner PN-Diskussion mit Agent Scullie. Nun hoffe ich, dass dieser Thread nun genug Stoff enthält, um interessierte User Anknüpfungpunkte für Fragen, Antworten und eine Diskussion zu bieten. Lass euch bitte nicht davon abschreckten, dass sich die obigen Postings auf ein Buch beziehen, dass die allermeistern natürlich nicht zur Hand haben.
Alle interessierten User (auch ohne Buch) sind herzlich eingeladen, hier über Gravitation und Raumzeit und die vierdimensionale Ereigniswelt der Relativitätstheorie zu diskutieren. Laien (wie meine Wenigkeit) sind ebenso willkommen wie Fachleute.

[Agent Scullie]

Hallo Halman,

Noch etwas interessantes: Wheeler beschreibt in dem Buch ja die innere Krümmung eines zweidimensionalen Raumes über das Produkt zweier Krümmungsradien, d.h. durch einen Skalar. Dabei handelt es sich gerade um den Ricci-Skalar, der durch Kontraktion aus dem Ricci-Tensor (2. Stufe) gewonnen wird, der seinerseits durch Kontraktion des Riemannschen Krümmungstensors (4. Stufe) gebildet wird. Im zweidimensionalen Raum reicht der Ricci-Skalar zur vollständigen Beschreibung der Krümmung aus, man kann also aus der bloßen Kenntnis des Ricci-Skalars den Krümmungstensor konstruieren.

In mehr als zwei Dimensionen gilt das jedoch nicht mehr, da enthält der Ricci-Skalar nicht mehr die volle Krümmungsinformation, man benötigt dann den vollständigen Krümmungstensor. In vier Dimensionen ist es dann schließlich sogar so, dass Ricci-Skalar und Ricci-Tensor in Regionen, wo eine Krümmung vorhanden ist, d.h. der Krümmungstensor nicht null ist, verschwinden können. Das ist wesentlich für die ART, da Ricci-Skalar und Ricci-Tensor nur innerhalb einer Materieverteilung ungleich null sind, die Raumzeit aber auch außerhalb gekrümmt ist.

Demgegenüber gilt AFAIK in drei Dimensionen zumindest noch, dass der Krümmungstensor null wird, wenn der Ricci-Skalar null wird, auch wenn er nicht mehr vollständig durch diesen gegeben ist (wie in zwei Dimensionen). Berechnet man z.B. für den räumlichen Anteil der Schwarzschildmetrik den räumlichen Ricci-Skalar (über den räumlichen Krümmungstensor, der wohlgemerkt nicht identisch ist mit dem räumlichen Teil des raumzeitlichen Krümmungstensors!), so stellt man fest, dass dieser für r > 0 nicht verschwindet, im Unterschied zum raumzeitlichen Ricci-Skalar.

Übrigens habe ich mir mal die Mühe gemacht auszurechnen, wie in einem expandierenden Universum die Divergenzfreiheit des Energie-Impuls-Tensors dazu führt, dass die Energie global nicht erhalten bleibt. Wenn du willst, kann ich die Rechnung hier mal einstellen, sie ist allerdings ziemlich kompliziert, man muss z.B. mit den Christoffelsymbolen der Robertson-Walker-Metrik hantieren.

[Halman]

Hallo Agent Scullie,

vielen Dank für deine interessante Erklärung zum Ricci-Tensor.

Übrigens habe ich mir mal die Mühe gemacht auszurechnen, wie in einem expandierenden Universum die Divergenzfreiheit des Energie-Impuls-Tensors dazu führt, dass die Energie global nicht erhalten bleibt. Wenn du willst, kann ich die Rechnung hier mal einstellen, sie ist allerdings ziemlich kompliziert, man muss z.B. mit den Christoffelsymbolen der Robertson-Walker-Metrik hantieren.

Sehr interessant, aber vermutlich dürfte dies meinen kleinen Laienkopf überfordern. Zu dumm, ich fühle mich wie ein Kind, dass sich für Dinge interessiert, die es noch nicht verstehen kann. Manchmal denke ich daran, mein Interesse für Physik einfach aufzugeben, aber ich kann einfach nicht anders, als mich für die vermutlich grundlegendste Wissenschaft von allen weiter zu begeistern.
Also bitte ich Dich, deine Rechnung hier zu posten. Auch wenn ich sie nicht verstehe, so dürfte sie für physikalisch besser visierte User, die hier mitlesen, sehr aufschlussreich sein.

[Agent Scullie]

Anbei die Rechnung

[Agent Scullie]

Hm, sechs Abrufe inzwischen. Warst das immer du, Halman? Wie sieht's aus, konntest du was davon verstehen?

[Halman]

Über Divergenzfreiheit und Energieerhaltung im Universum

Hm, sechs Abrufe inzwischen. Warst das immer du, Halman? Wie sieht's aus, konntest du was davon verstehen?

Nun sind es sieben Aufrufe, aber nicht alle von mir:

1. Der erste Aufruf war aus reiner wissenschaftlicher Neugier und ich dachte, wow - das sieht kompliziert aus.
2. Der nächste Aufruf war von einem anderen Rechner, weil ich übers WE woanders bin, ...
3. dann zeigte ich meinem Bruder die Datei, weil er mir nicht glauben wollte, dass sich die Gesamtenergie in einem Universum verändern kann (er glaubt fest daran, dass die Energieerhaltung absolut ist) ...
4. und nun habe ich es eben nochmal gelesen und wieder nicht verstanden.

Was ich kapiert habe ist, dass die Änderung der Gesamtenergie des Universums keineswegs das Energieerhaltungsgesetz verletzt, sondern sich sogar aus der Mathematik herleiten lässt (Divergenzfreiheit), auch wenn ich die Rechnung selber nicht nachvollziehen kann. Mit angstaubter Mathematik 10. Klasse bin ich damit hoffnungslos überfordert. (In der Matheprüfung 10. Klasse würde ich heute durchrasseln und keine 2 mehr schaffen).

Daher habe ich bestenfalls Bruchstücke verstanden. In einem mitbewegten Inertialsystem bleiben die räumlichen Komponenten des Tensors also Null (da es keinen Impuls gibt), nur die zeitliche Komponente t (unter der ich die Energie der Ruhemasse gemäß Emc² verstehe) hat einen Wert.
Allerdings nimmt duch die Zunahme der Volumens im Gesamtsystem Universum der Strahlungsdruck (ist dieser Begriff hier richtig) der Hintergrundsstrahlung ab und somit veringert sich dessen Energiebetrag in Übereinstimmung mit dem Pendant zur Energieerhaltung in der ART.

Sehe ich das richtig, dass auf Deine sehr anspruchsvolle Rechnung Folgendes aus Wiki treffend ist

Zitat aus Divergenz (Mathematik) ? Wikipedia
Für Tensorfunktionen, die nicht von den Koordinaten des Raumes abhängen, ist die Divergenz stets Null.

Aber für andere User mag es verständlicher sein. Hier sind ja viele, die eine höhere oder gar weitaus höhere Bildung haben. Sogar meine Freundesliste besteht wohl überwiegend aus Usern, die mir diesbezüglich haushoch überlegen sind.

[Agent Scullie]

Daher habe ich bestenfalls Bruchstücke verstanden. In einem mitbewegten Inertialsystem bleiben die räumlichen Komponenten des Tensors also Null (da es keinen Impuls gibt), nur die zeitliche Komponente t (unter der ich die Energie der Ruhemasse gemäß Emc² verstehe) hat einen Wert.

nicht die räumlichen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors, sondern die der Vierergeschwindigkeit. Und deren zeitliche Komponente ist nicht E=mc^2, sondern 1. Daraus ergibt sich dann die Diagonalgestalt des Energie-Impuls-Tensors, wobei dessen 00-Komponenten auch nicht die Energie, sondern die Energiedichte ist.

Allerdings nimmt duch die Zunahme der Volumens im Gesamtsystem Universum der Strahlungsdruck (ist dieser Begriff hier richtig) der Hintergrundsstrahlung ab und somit veringert sich dessen Energiebetrag in Übereinstimmung mit dem Pendant zur Energieerhaltung in der ART.

wenn du annimmst, dass das kosmische Medium durch die Hintergrundstrahlung gegeben ist (strahlungsdominiertes Universum), ist der in den Formeln auftretende Druck der Strahlungsdruck, ja.
Allerdings verringert sich die Gesamtenergie der kosmischen Hintergrundstrahlung nicht weil der Strahlungsdruck abnimmt, sondern weil das Volumen zunimmt. In

dE/dt = - p dV/dt

geht die zeitliche Änderung des Volumens ein, nicht die des Drucks. Oder siehst du da irgendwo dp/dt stehen?

Sehe ich das richtig, dass auf Deine sehr anspruchsvolle Rechnung Folgendes aus Wiki treffend ist

dort wird die Divergenz nur für den flachen Raum behandelt. An der Darstellung der Divergenz in Kugelkoordinaten kann man aber bereits das Auftreten der Christoffelsymbole ersehen, da die Divergenz nicht einfach nur aus partiellen Ableitungen nach den Koordinaten r, theta und phi besteht.
Und nein, du siehst es nicht richtig. Die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors verschwindet auch dann, wenn seine Komponenten von den Koordinaten abhängen. Im expandierenden Universum gilt z.B.

T^rr = - p g^rr = p (1 - kr^2) / S(t)^2

Da ist also offensichtlich eine Abhängigkeit von r und t gegeben.

[Halman]

Was ist die zeitliche Komponente der Viergeschwindigkeit?

Da mir mein allseits beliebtes blaues Sofa bei den vierer Vektoren nichts nütz , versteckte ich mich im Glaubens-Thread. Nun haben die Glaubensverfechter wohl alle Atheisten verjagt und - oh Schreck - einer der vierer Vektoren traf mich zur Strafe.
Da ich nun die großen Brüder, die Differentialformen, noch mehr fürchte und nicht in Quantenobjekten zerlegt werden will, muss ich ja nun hier wieder posten.

Dabei handelt es sich gerade um den Ricci-Skalar, der durch Kontraktion aus dem Ricci-Tensor (2. Stufe) gewonnen wird, der seinerseits durch Kontraktion des Riemannschen Krümmungstensors (4. Stufe) gebildet wird.

Bei den Riemannschen Krümmungstensoren gibt es also 4 Stufen?
Ich frage deshalb, weil mir bisher nur Tensoren mit 0. bis 2.Stufe bekannt sind http://www.scifi-forum.de/science-fi...ml#post2285209

Beziehen sich die 4 Stufen der Riemanischen Krümmungstensoren auf die 4 Dimensionen der Raumzeit?

nicht die räumlichen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors, sondern die der Vierergeschwindigkeit. Und deren zeitliche Komponente ist nicht E=mc^2, sondern 1. Daraus ergibt sich dann die Diagonalgestalt des Energie-Impuls-Tensors, wobei dessen 00-Komponenten auch nicht die Energie, sondern die Energiedichte ist.

Mir ist aufgefallen, dass in der ersten Zeile der großen Klammer die Energiedichte ρ erscheint und in den anderen Zeilen der Druck p.
An dieser Stelle versuchte ich, die Impenergie (dx, dy, dz, dt) auf diesen Fall zu übertragen, einfach, weil ich mangels Verständis auf Bekanntes zurückgriff.

Also, dt stellt doch die zeitliche Komponente da. Wenn also die räumlichen Komponenten (also der Impuls) 0 sind, ist dann dt nicht einfach das, was Wheeler gemäß seiner Beschreibung der Impenergie als "Energie" bezeichnete, also die Masse selbst, was AFAIK E=mc² entspricht?

Hier vermischte ich wohl zwei Dinge. Hier verwechselte ich die räumlichen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors mit der Vierergeschwindigkeit, woraus sich dann mein Fehler bei der Deutung der zeitlichen Komponente ergibt.

Das ist einem lokalen Inertialsystem, welches mit dem kosmischen Medium mitbewegt wird, die räumlichen Komponenten der Vierergeschwindigkeit verschwinden und so zu 0 in der großen Klammer werden, leuchtet mir ein. Ihre relative Geschwindigkeit ist ja 0. Aber die zeitliche Komponente verstehe ich einfach nicht, da sich mir die Mathematik nicht erschließt.

wenn du annimmst, dass das kosmische Medium durch die Hintergrundstrahlung gegeben ist (strahlungsdominiertes Universum), ist der in den Formeln auftretende Druck der Strahlungsdruck, ja.

Okay, dann trifft meine Vermutung wohl nur auf das frühe Universum zu und ist heute, im materiedominierten Universum, nicht mehr anwendbar. Der Ausdruck Strahlungsdruck war wohl ungünstig gewählt. Ich wollte auf die Strahlungsenergie im lokalen Inertialsystem hinaus. Das ist also die zeitliche Komponente der Vierergeschwindigkeit, richtig? Und diese ist 1?

Allerdings verringert sich die Gesamtenergie der kosmischen Hintergrundstrahlung nicht weil der Strahlungsdruck abnimmt, sondern weil das Volumen zunimmt. In

dE/dt = - p dV/dt

geht die zeitliche Änderung des Volumens ein, nicht die des Drucks. Oder siehst du da irgendwo dp/dt stehen?

Nur am Ende Deines letzten Satzes.

(Ich nahm an, dass es immer einen Strahlungsdruck gibt, der mit dem Volumen des Inertialsystems abnimmt.)

Und nein, du siehst es nicht richtig. Die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors verschwindet auch dann, wenn seine Komponenten von den Koordinaten abhängen. Im expandierenden Universum gilt z.B.

T^rr = - p g^rr = p (1 - kr^2) / S(t)^2

Da ist also offensichtlich eine Abhängigkeit von r und t gegeben.

Okay. Die Abhängigkeit von r und t besagt doch, dass beim zunehmenden Volumen die Energiedichte von t abnimmt, richtig?

[Agent Scullie]

Bei den Riemannschen Krümmungstensoren gibt es also 4 Stufen?

nee, nur eine, aber das ist eben die vierte.

Ich frage deshalb, weil mir bisher nur Tensoren mit 0. bis 2.Stufe bekannt sind

ein Tensor n-ter Stufe hat n Indizes: ein Tensor 0. Stufe (Skalar) hat keine Indizes, ein Tensor 1. Stufe hat einen Index, z.B. x^i = (x^0, x^1, x^2, x^3), ein Tensor 2. Stufe hat zwei Indizes (z.B. metrischer Tensor g_ij oder Energie-Impuls-Tensor T_ij), ein Tensor 3. Stufe 3 Indizes, ein Tensor 4. Stufe 4 Indizes. Dabei kann jeder Index hoch- (kontravariant) oder tiefgestellt (kovariant) sein. Sehr häufig wird der Riemannsche Krümmungstensor mit einem kontravarianten Index und drei kovarianten Indizes betrachtet: R^i_jkl. Der Buchstabe R wird sowohl für den Krümmungstensor als auch für den Ricci-Tensor als auch für den Ricci-Skalar benutzt, die Unterscheidung erfolgt allein durch die Zahl der Indizes.

Beziehen sich die 4 Stufen der Riemanischen Krümmungstensoren auf die 4 Dimensionen der Raumzeit?

nein. Die Zahl der Dimensionen entspricht der Zahl der möglichen Werte, die jeder Index durchlaufen kann. In einem d-dimensionalen Raum hat ein Tensor n-ter Stufe d^n Komponenten. Beispiel: Tensor 2. Stufe in 4 Dimensionen -> 4 x 4 = 4^2 = 16 Komponenten. Der Krümmungstensor hat in vier Dimensionen 4 x 4 x 4 x 4 = 4^4 = 256 Komponenten. In drei Dimensionen hätte er nur 3 x 3 x 3 x 3 = 3^4 = 81 Komponenten. Jede Komponente entspricht einer Kombination von Indizes. R^0_000 ist eine Komponente, R^1_000 eine weitere, R^0_001 noch eine, usw.

Mir ist aufgefallen, dass in der ersten Zeile der großen Klammer die Energiedichte ρ erscheint und in den anderen Zeilen der Druck p.
An dieser Stelle versuchte ich, die Impenergie (dx, dy, dz, dt) auf diesen Fall zu übertragen,

die Impenergie - oder wie man außerhalb der Wheelerschen Terminologie zu sagen pflegt: der Vierer-Impuls oder Impuls-Vierervektor - ist p^i = (E/c, p_x, p_y, p_z). dx^i = (dt, dx, dy, dz) ist das Differential des Orts-Vierervektors x^i, das hat mit dem Impuls-Vierervektor nicht viel zu tun.

Also, dt stellt doch die zeitliche Komponente da.

vom Differential des Orts-Vierervektors, nicht vom Impuls-Vierervektor. Die zeitliche Komponente vom Impuls-Vierervektor ist p^0 = E/c.

Wenn also die räumlichen Komponenten (also der Impuls) 0 sind, ist dann dt nicht einfach das, was Wheeler gemäß seiner Beschreibung der Impenergie als "Energie" bezeichnete, also die Masse selbst, was AFAIK E=mc² entspricht?

wenn die räumlichen Komponenten des Impuls-Vierervektors verschwinden, bleibt für die zeitliche Komponente p^0 = E/c = mc übrig, ja. Die zeitliche Komponente ist dann gleich der Länge m/c des Impuls-Vierervektors.

Das ist einem lokalen Inertialsystem, welches mit dem kosmischen Medium mitbewegt wird, die räumlichen Komponenten der Vierergeschwindigkeit verschwinden und so zu 0 in der großen Klammer werden, leuchtet mir ein. Ihre relative Geschwindigkeit ist ja 0. Aber die zeitliche Komponente verstehe ich einfach nicht, da sich mir die Mathematik nicht erschließt.

die Raumzeit besteht aus einer Menge von Punkten (Ereignissen), von denen jeder durch einen Orts-Vierervektor x^i = (t,x,y,z), bestehend aus vier Koordinaten, beschreibbar ist. Die Weltlinie eines Teilchen ist eine Untermenge dieser Menge von Punkten, und kann durch einen Bahnparameter lambda beschrieben werden: x^i(lambda). Als Bahnparameter kann man z.B. die Eigenzeit tau des Teilchens: x^i(tau). Jeder Eigenzeit tau des Teilchen entspricht also ein Raumzeitpunkt x^i(tau) auf der Weltlinie des Teilchens. Die Ableitung des Orts-Vierervektors nach der Eigenzeit ergibt dann die Vierergeschwindigkeit

u^i = dx^i / dtau

In einem lokalen Inertialsystem, in dem das Teilchen ruht, entspricht die Koordinatenzeit der Eigenzeit, und die räumlichen Komponenten des Orts-Vierervektors sind konstant:

x^i(tau) = (t0 + tau, x0, y0, z0)

Die Vierergeschwindigkeit ist entsprechend

u^i = dx^i(tau) / dtau = (1,0,0,0)

Das ist also die zeitliche Komponente der Vierergeschwindigkeit, richtig? Und diese ist 1?

im mitbewegten lokalen Inertialsystem, ja.

Okay. Die Abhängigkeit von r und t besagt doch, dass beim zunehmenden Volumen die Energiedichte von t abnimmt, richtig?

dass T^rr von r und t abhängt, besagt erstmal nur, dass T^rr sich mit r und t ändert. Wie sich p und rho mit r oder t ändern, wird dadurch erstmal nichts ausgesagt.

[Halman]

Einstein-Cartan-Gleichung

Die erste Gleichung in diesem Artikel über die chaotische Inflation erinnerte mich an eine Gleichung aus Wheelers Buch. Zurzeit bin ich wieder genau bei der Doppelseite angelangt, in der u.a. folgende ART-Feldgleichung steht:
(Summe aller Rotationsmomente für die Flächen eines kleine Dreierwürfels) = 8 π x (Gehalt an Impenergie im Inneren dieses Dreierwürfels).

Ich erinnere mich, dass wir hier bereits auf die Einstein-Cartan-Gleichung zu sprechen kamen.

Im Uni-Artikel steht sie in der Fachsprache: Gμν = 8πGTμν
Also bedeutet der Einsteintensor Gμν die Summe aller Rotationsmomente für die Flächen eines kleinen Dreierwürfels.
Darunter verstehe ich die Winkel, welche die Weltlinien von benachtbarten Testmassen als "Ränder" einer kleinen Fläche beschreiben, wobei die Rotation die relative Verdrehung der Testmassen zueinander repräsentiert (hier erinnere ich mich an den Paralleltransport mit dem Paar mit den Speeren, die relativ zueinander auf einer Kugel "rotieren", während das Paar vom Nordpol zum Äquator des Balles marschiert).

G ist also die Gravitationskonstante mit dem Abstandsquadrat und die 8π ergeben sich wohl aus den vier Dimensionen der Raumzeit.
Steht μ für einen der Beiden Weltlinien und ν für die zweite?
Und T steht dann für Tensor, welcher die Energie ρ und den Impuls (p, p, p) angibt, richtig?

Oder falsch?

[Agent Scullie]

Die erste Gleichung in diesem Artikel über die chaotische Inflation erinnerte mich an eine Gleichung aus Wheelers Buch. Zurzeit bin ich wieder genau bei der Doppelseite angelangt, in der u.a. folgende ART-Feldgleichung steht:
(Summe aller Rotationsmomente für die Flächen eines kleine Dreierwürfels) = 8 π x (Gehalt an Impenergie im Inneren dieses Dreierwürfels).

Ich erinnere mich, dass wir hier bereits auf die Einstein-Cartan-Gleichung zu sprechen kamen.

Im Uni-Artikel steht sie in der Fachsprache: Gμν = 8πGTμν
Also bedeutet der Einsteintensor Gμν die Summe aller Rotationsmomente für die Flächen eines kleinen Dreierwürfels.
Darunter verstehe ich die Winkel, welche die Weltlinien von benachtbarten Testmassen als "Ränder" einer kleinen Fläche beschreiben, wobei die Rotation die relative Verdrehung der Testmassen zueinander repräsentiert (hier erinnere ich mich an den Paralleltransport mit dem Paar mit den Speeren, die relativ zueinander auf einer Kugel "rotieren", während das Paar vom Nordpol zum Äquator des Balles marschiert).

dass sich zwei paralleltransportierte Speere zueinander verdrehen, trifft bereits dann zu, wenn der Riemannsche Krüßmmungstensor von null verschieden ist, der Einstein-Tensor aber null bleibt, was z.B. außerhalb einer kugelsymmetrischen Massenverteilung der Fall ist. Die Identifikation des Einstein-Tensors mit Rotationsmomenten habe ich außer bei Wheeler auch noch nirgendwo gesehen. Generell gilt, dass sich die Krümmung bzw. der Krümmungstensor durch die Verdrehung paralleltransportierter Vektoren definiert, die Krümmung aber ungleich null sein kann, ohne dass der Einstein-Tensor ebenfalls ungleich null sein müsste.

Steht μ für einen der Beiden Weltlinien und ν für die zweite?

mu und nu sind die beiden Indizes der Komponenten des Einstein-Tensors. Es handelt sich ja um einen Tensor zweiter Stufe, jede Komponente hat somit 2 Indizes. Jeder der beiden kann von 0 bis 3 laufen.

Und T steht dann für Tensor, welcher die Energie ρ und den Impuls (p, p, p) angibt, richtig?

rho und p sind Energiedichte und Druck, nicht Energie und Impuls.

Edit: hier ist ein interessanter Link dazu, was eine Raumzeitregion, wo der Einstein-Tensor verschwindet, die Krümmung aber von null verschieden ist, von einer Region unterscheidet, wo auch der Einstein-Tensor von null verschieden ist:

http://www.joergresag.privat.t-online.de/mybk2htm/chap53.htm

Ganz unten auf der Seite wird erläutert, dass eine aus frei fallenden Testmassen gebildete Kugel mit der Zeit an Volumen verliert, wenn der Einstein-Tensor ungleich null ist, während sie dann, wenn der Einstein-Tensor null ist, der Krümmungstensor jedoch nicht, nur verzerrt wird (durch Gezeitenkräfte), aber ihr Volumen beibehält.