Quantenobjekte und Feld - Fragen und Diskussion

[Agent Scullie]

Was bedeutet es in der Quantenfeldtheorie, dass das Vakuum, repräsentiert durch den Grundzustand |0> durch den Annihilations-Operator a(k) zerstört wird, also a(k) |0> = 0 ist? Warum bleibt der Grundzustand nicht wie er ist?

würde der Grundzustand unter einer Anwendung des Vernichtungsoperators so bleiben wie er ist, so würde er ja ein Eigenzustand des Vernichtungsoperators sein. Das ist er aber eben nicht. Das ist auch leicht einzusehen: der Vernichtungsoperator vernichtet Teilchen, d.h. seine Anwendung auf einen Zustand mit der Teilchenzahl N ergibt einen Zustand mit der Teilchenzahl N-1 (ein Teilchen weniger). Ein N-Teilchenzustand kann daher kein Eigenzustand des Vernichtungsoperators sein. Das gilt natürlich auch für den Fall N=0, wenn also 0 Teilchen vorhanden sind, was gerade den Vakuumzustand auszeichnet.

Da es aber nicht weniger als 0 Teilchen geben kann, kann die Anwendung des Vernichtungsoperators auf den Vakuumzustand keinen Zustand mit einer um 1 kleineren Teilchenzahl ergeben, deswegen gilt

a(k) |0> = 0

Das bedeutet einfach: es gibt keinen gültigen Zustand, der bei der Anwendung von a(k) auf |0> herauskommt. Etwas ganz ähnliches gilt übrigens bei fermionischen Zuständen beim Erzeugeoperator a^+(k). Sei |k> ein Einteilchenzustand, der aus der Anwendung des Erzeugeoperators auf den Vakuumzustand hervorgeht:

|k> = a^+(k) |0>

Dann gilt für die Anwendung des Erzeugeoperators auf |k>:

a^+(k) |k> = a^+(k) a^+(k) |0> = 0

Da das Pauli-Prinzip ausschließt, dass zwei Fermionen den gleichen Einteilchenzustand einnehmen, kann es keinen Zustand geben, der aus der Anwendung des Erzeugeoperators a^+(k) auf einen Zustand, in dem schon ein Fermion im Einteilchenzustand k vorhanden ist, hervorgeht. Deswegen muss die Anwendung 0 ergeben.

Es kommt auch darauf an, dass die Anwendung des Teilchenzahloperators, der sich aus dem Erzeuge- und Vernichteoperator zusammensetzt:

n(k) = a^+(k) a(k)

auf den Vakuumzustand des korrekten Wert 0 liefert. Denn von diesem Teilchenzahloperator ist der Vakuumzustand ein Eigenzustand, und zwar zum Eigenwert 0. Es muss also

n(k) |0> = 0 |0> = 0

gelten. Mit a(k) |0> = 0 ist das erfüllt:

a^+(k) a(k) |0> = a^+(k) 0 = 0

Mit a(k) |0> = X |0>, wobei X irgendein Wert wäre, wäre das nicht erfüllt:

a^+(k) a(k) |0> = a^+(k) X |0> = X |k>


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Agent Scullie schrieb nach 2 Minuten und 8 Sekunden:

In der Quantenfeldtheorie ist der niedrigste Zustand das Vakuum, geschrieben |0>. Das ist aber nicht dasselbe wie der Nullvektor 0, und ich kann mir deshalb unter dem Nullvektor nichts Physikalisches vorstellen.

das ist auch ganz richtig so, denn dem Nullvektor entspricht nichts Physikalisches. Eine Beziehung der Art

Operator |Zustand> = 0

bedeutet immer: es gibt keinen Zustand, der aus der Anwendung des Operators auf |Zustand> hervorgeht.

[irony]

würde der Grundzustand unter einer Anwendung des Vernichtungsoperators so bleiben wie er ist, so würde er ja ein Eigenzustand des Vernichtungsoperators sein. Das ist er aber eben nicht. Das ist auch leicht einzusehen: der Vernichtungsoperator vernichtet Teilchen, d.h. seine Anwendung auf einen Zustand mit der Teilchenzahl N ergibt einen Zustand mit der Teilchenzahl N-1 (ein Teilchen weniger). Ein N-Teilchenzustand kann daher kein Eigenzustand des Vernichtungsoperators sein. Das gilt natürlich auch für den Fall N=0, wenn also 0 Teilchen vorhanden sind, was gerade den Vakuumzustand auszeichnet.

Da es aber nicht weniger als 0 Teilchen geben kann, kann die Anwendung des Vernichtungsoperators auf den Vakuumzustand keinen Zustand mit einer um 1 kleineren Teilchenzahl ergeben, deswegen gilt

a(k) |0> = 0

Das bedeutet einfach: es gibt keinen gültigen Zustand, der bei der Anwendung von a(k) auf |0> herauskommt. Etwas ganz ähnliches gilt übrigens bei fermionischen Zuständen beim Erzeugeoperator a^+(k). Sei |k> ein Einteilchenzustand, der aus der Anwendung des Erzeugeoperators auf den Vakuumzustand hervorgeht:

|k> = a^+(k) |0>

Dann gilt für die Anwendung des Erzeugeoperators auf |k>:

a^+(k) |k> = a^+(k) a^+(k) |0> = 0

Da das Pauli-Prinzip ausschließt, dass zwei Fermionen den gleichen Einteilchenzustand einnehmen, kann es keinen Zustand geben, der aus der Anwendung des Erzeugeoperators a^+(k) auf einen Zustand, in dem schon ein Fermion im Einteilchenzustand k vorhanden ist, hervorgeht. Deswegen muss die Anwendung 0 ergeben.

Es kommt auch darauf an, dass die Anwendung des Teilchenzahloperators, der sich aus dem Erzeuge- und Vernichteoperator zusammensetzt:

n(k) = a^+(k) a(k)

auf den Vakuumzustand des korrekten Wert 0 liefert. Denn von diesem Teilchenzahloperator ist der Vakuumzustand ein Eigenzustand, und zwar zum Eigenwert 0. Es muss also

n(k) |0> = 0 |0> = 0

gelten. Mit a(k) |0> = 0 ist das erfüllt:

a^+(k) a(k) |0> = a^+(k) 0 = 0

Mit a(k) |0> = X |0>, wobei X irgendein Wert wäre, wäre das nicht erfüllt:

a^+(k) a(k) |0> = a^+(k) X |0> = X |k>


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Agent Scullie schrieb nach 2 Minuten und 8 Sekunden:

das ist auch ganz richtig so, denn dem Nullvektor entspricht nichts Physikalisches. Eine Beziehung der Art

Operator |Zustand> = 0

bedeutet immer: es gibt keinen Zustand, der aus der Anwendung des Operators auf |Zustand> hervorgeht.

n(k) |0> = 0 |0> = 0 heißt, das System ist nach der Messung der Teilchenzahl mit Ergebnis 0 immer noch im Grundzustand |0>, aber die schrittweise Hintereinanderausführung a^+(k) a(k) |0> = a^+(k) 0 = 0 entspricht keinem physikalischen Messvorgang, der aus zwei Teilen

a(k) |0> = 0
a^+(k) 0 = 0

besteht, da man zwischen den beiden Teilen keinen physikalischen Zustand hätte.

D.h. der Vakuumzustand wird auch nicht zerstört, da der Vernichtungsoperator keine Messung realisiert und den Zustand |0> im Grunde auch nicht ändern kann.

[Agent Scullie]

n(k) |0> = 0 |0> = 0 heißt, das System ist nach der Messung der Teilchenzahl mit Ergebnis 0 immer noch im Grundzustand |0>, aber die schrittweise Hintereinanderausführung a^+(k) a(k) |0> = a^+(k) 0 = 0 entspricht keinem physikalischen Messvorgang, der aus zwei Teilen

a(k) |0> = 0
a^+(k) 0 = 0

besteht,

Messvorgänge und Anwendungen von Operatoren haben eigentlich generell nicht viel miteinander zu tun. Außer halt in der Hinsicht, dass wenn der Zustand, auf den ein Operator angewandt wird, ein Eigenzustand des angewandten Operators ist und die Anwendung daher den zugehörigen Eigenwert zurückliefert, den man auch bei einer Messung erhält. Ist der Zustand dagegen kein Eigenzustand des Operators, lässt sich die Anwendung des Operators auch nicht in sinnvoller Weise mit einem Messvorgang in Verbindung bringen.

[irony]

Vielen Dank für die Erklärungen.

Etwas ganz ähnliches gilt übrigens bei fermionischen Zuständen beim Erzeugeoperator a^+(k). Sei |k> ein Einteilchenzustand, der aus der Anwendung des Erzeugeoperators auf den Vakuumzustand hervorgeht:

|k> = a^+(k) |0>

Dann gilt für die Anwendung des Erzeugeoperators auf |k>:

a^+(k) |k> = a^+(k) a^+(k) |0> = 0

Die Gleichung a^+(k) |k> = 0 muss dann aber eine Festlegung sein, d.h. a^+(k) |k> = 0 muss gelten, da es sonst zu Widersprüchen kommt.

Müssen Fermionen aber nicht immer paarweise erzeugt werden? Ein Fermion mit Wellenzahl k, das andere wegen Impulserhaltung mit -k:

a^+(k,-k) |0,0> = |k,-k>

und dann noch irgendwie die gegensätzlichen Spins, also so:

a^+(k/up,-k/down) |0,0> = |k/up,-k/down>

Mit dem Tensorprodukt müsste man eigentlich auch |k/up,-k/down> = |k,-k> x |up,down> schreiben können.

[Agent Scullie]

Müssen Fermionen aber nicht immer paarweise erzeugt werden? Ein Fermion mit Wellenzahl k, das andere wegen Impulserhaltung mit -k:

es gibt viele Möglichkeiten, ein Teilchen mit dem Impuls k zu erzeugen. Die Paarerzeugung mit zwei gleichartigen Teilchen, von denen eines den Impuks k und das andere den Impuls -k hat, ist nur eine davon. Es kann auch vorher ein anderes Teilchen mit dem Impuls k vorhanden gewesen sein, das vernichtet wurde, und an dessen statt jetzt ein neues Teilchen mit dem Impuls k erzeugt wurde. Oder es war vorher ein Teilchen mit dem Impuls k' vorhanden, dessen Impuls sich nun zu k'' = k' - k geändert hat, wobei ein neues, zweites Teilchen mit dem Impuls k emittiert wurde.

Die Impulserhaltung wird, anders als das Pauli-Prinzip, nicht durch Relationen der Erzeuge- und Vernichteoperatoren erfasst.

a^+(k,-k) |0,0> = |k,-k>

einen Zweiteilchenzustand mit einem Teilchen im Zustand k und einem Teilchen im Zustand -k wird üblicherweise in der Form

a^+(k) a^+(-k) |0>

geschrieben (Nacheinander-Anwenden der Erzeugeoperatoren für k und -k).

und dann noch irgendwie die gegensätzlichen Spins, also so:

a^+(k/up,-k/down) |0,0> = |k/up,-k/down>

das sähe dann so aus:

a^+(k,up) a^+(-k,down) |0>

Mit dem Tensorprodukt müsste man eigentlich auch |k/up,-k/down> = |k,-k> x |up,down> schreiben können.

dazu müssten |k,-k> und |up,down> Elemente geeigneter Hilberträume sein. Zunächst einmal gilt, dass

|k> = a^+(k) |0>

Element des Einteilchen-Hilbertraumes ist. Sei nun |k,-k> definiert als

a^+(k) a^+(-k) |0>

so ist |k,-k> Element des Zweiteilchen-Hilbertraumes, jedoch gilt nicht

|k,-k> = |k> \otimes |-k> = |k> |-k>

sondern, aufgrund der quantenmechanischen Ununterscheidbarkeit

|k,-k> = 1/sqrt(2) (|k> \otimes |-k> +/- |-k> \otimes |k>)
= 1/sqrt(2) (|k> |-k> +/- |-k> |k>)

(es ist unbestimmt, ob das erste Teilchen im Zustand k und das zweite im Zustand -k ist oder umgekehrt). Das Pluszeichen gilt dabei für Bosonen, das Minuszeichen für Fermionen. Nimmt man noch den Spin hinzu, so gilt:

|k,up,-k,down> = 1/sqrt(2) (|k,up> |-k,down> +/- |-k,down> |k,up>)

(es steht fest, dass dasjenige Teilchen, das den Impuls k hat, den Spin up hat, nicht aber, welches der beiden Teilchen nun die Kombo k,up hat).

Du kannst ja mal versuchen, das in ein Tensorprodukt aus zwei Zuständen |k,-k> und |up,down> umzubilden

[irony]

Du kannst ja mal versuchen, das in ein Tensorprodukt aus zwei Zuständen |k,-k> und |up,down> umzubilden

Ich verstehe schon, was du meinst. Wenn es möglich wäre, dürfte es nicht möglich sein, da die Teilchen ununterscheidbar sein sollen. Ist das eigentlich auch ein Grundpostulat der Quantenfeldtheorie, oder woraus folgt das?


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
irony schrieb nach 11 Stunden, 47 Minuten und 4 Sekunden:

Ununterscheidbare Teilchen ? Wikipedia

Bei gleichartigen Teilchen gilt wie in der statistischen Physik, dass das Vertauschen zweier Teilchen j,k eines Systems aus N Teilchen zu keinem neuen Zustand führen kann

Mathematisch kann man die Gesamtwellenfunktion eines Systems als Produkt der Wellenfunktionen der einzelnen Teilchen konstruieren. Um die Ununterscheidbarkeit der Teilchen zu berücksichtigen, muss dieses Produkt im Fall von Bosonen noch symmetrisiert bzw. im Fall von Fermionen antisymmetrisiert werden.

Dieses Symmetrisieren/Anti-Symmetrisieren ist genau das was Agent Scullie hier gemacht hat:

|k,-k> = 1/sqrt(2) (|k> \otimes |-k> +/- |-k> \otimes |k>)
= 1/sqrt(2) (|k> |-k> +/- |-k> |k>)

Zum Thema Ununterscheidbarkeit gibt es auch ein ganz interessantes Paper: Identity and Individuality in Quantum Theory (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Darin heißt es:

it is not clear that QFT understood in terms of non-individual ‘quanta’ offers a significant advantage in this respect. Indeed, it has been argued that the formalism of QFT is compatible with the alternative package of metaphysically individual particles.

Van Fraassen has pressed this claim (1991), drawing on de Muynck's construction of state spaces for quantum field theory which involve labelled particles (1975).

Labelled Particles heißt ja, Nummern vergeben. Dann habe ich geordnete Paare (e1,e2) und müsste wieder Tensorprodukte, d.h. Produktzustände schreiben können: |k1,k2> = |k1> |k2> wobei noch die wahrscheinlich auch experimentell nachweisbare Symmetrie oder Antisymmetrie der Wellenfunktion berücksichtigt werden muss.

Was mir noch Kopfschmerzen bereitet, ist, auf der einen Seite gibt es ununterscheidbare Teilchen, also massenhaft Kopien, auf der anderen Seite das No-Cloning-Theorem ? Wikipedia

Da steht auch noch mal etwas über Tensorprodukte.

Wenn Teilchen ununterscheidbar sind, warum kann man sie dann trotzdem nicht kopieren?

Findet ihr das nicht auch verwirrend.

[Agent Scullie]

Ich verstehe schon, was du meinst. Wenn es möglich wäre, dürfte es nicht möglich sein, da die Teilchen ununterscheidbar sein sollen. Ist das eigentlich auch ein Grundpostulat der Quantenfeldtheorie, oder woraus folgt das?

AFAIK ist es eine Voraussetzung dafür, dass die Quantentheorie überhaupt als Quantenfeldtheorie formulierbar ist. Für die QFT ist es erforderlich, dass ein N-Teilchenzustand vollständig durch eine Besetzungszahldarstellung (Einteilchenzustand i ist n_i-fach besetzt, Einteilchenzustand i+1 ist n_{i+1}-fach besetzt usw., wobei für Fermionen n_i nur 0 oder 1 sein kann) beschreibbar ist. Das geht nur bei ununterscheidbaren Teilchen, d.h. wenn nicht unterscheidbar ist, ob der i-te Einteilchenzustand nun von Teilchen A oder von Teilchen B besetzt ist.

Was mir noch Kopfschmerzen bereitet, ist, auf der einen Seite gibt es ununterscheidbare Teilchen, also massenhaft Kopien, auf der anderen Seite das No-Cloning-Theorem ? Wikipedia

Da steht auch noch mal etwas über Tensorprodukte.

Wenn Teilchen ununterscheidbar sind, warum kann man sie dann trotzdem nicht kopieren?

Findet ihr das nicht auch verwirrend.

nein, was soll daran verwirrend sein? Wir haben zwei Teilchen, eines im Zustand |psi>, das andere im Zustand |k>. Wenn wir die Ununterscheidbarkeit zunächst außen vor lassen, ist der resultierende Zweiteilchenzustand

|psi,k> = |psi> |k>

Nun besagt das Theorem, dass dieser Zustand nicht in

|psi,psi> = |psi> |psi>

überführt werden kann, das zweite Teilchen also nicht in den Zustand des ersten Teilchens übergehen kann, ohne dass sich der Zustand des ersten Teilchens dabei ändert.

Wenn wir nun die Ununterscheidbarkeit einbeziehen, so ist der Ausgangszustand:

|psi,k> = 1/sqrt(2) (|psi> |k> + |k> |psi>)

(ich habe hier Bosonen angenommen, da bei Fermionen ohnehin keine zwei Teilchen im gleichen Zustand sein können). Der Zustand |psi,psi> sähe aus wie ohne Ununterscheidbarkeit:

|psi,psi> = |psi> |psi>

Das Theorem besagt nun also, dass der Zustand

|psi,k> = 1/sqrt(2) (|psi> |k> + |k> |psi>)

nicht in den Zustand

|psi,psi> = |psi> |psi>

übergehen kann.

[Halman]

Wenn Teilchen ununterscheidbar sind, warum kann man sie dann trotzdem nicht kopieren?

Angenommen, man könnte Teilchen "klonen", würde dies nicht gegen folgende quantenmechanische Erhaltungsgrößen verstoßen?:

• die Leptonenzahl
• die Baryonenzahl

Oder anders gefragt: Erzwingen diese Erhaltungsgrößen nicht geradezu das No-Cloning-Theorem?

[Agent Scullie]

Angenommen, man könnte Teilchen "klonen", würde dies nicht gegen folgende quantenmechanische Erhaltungsgrößen verstoßen?:

• die Leptonenzahl
• die Baryonenzahl

Oder anders gefragt: Erzwingen diese Erhaltungsgrößen nicht geradezu das No-Cloning-Theorem?

nein. Das Teilchen, dessen Zustand auf ein anderes Teilchen kopiert werden soll, und das Teilchen, auf den den der Zustand kopiert werden soll, können ja der gleichen Teilchenart angehören.

[irony]

Angenommen, man könnte Teilchen "klonen", würde dies nicht gegen folgende quantenmechanische Erhaltungsgrößen verstoßen?:

• die Leptonenzahl
• die Baryonenzahl

Oder anders gefragt: Erzwingen diese Erhaltungsgrößen nicht geradezu das No-Cloning-Theorem?

Wo man aufpassen muss, ist, was mit Cloning gemeint ist. Beim quantenmechanischen Klonen werden keine neuen Teilchen produziert, zumindest nicht bei Fermionen, sondern es werden Zustände geklont. Das geklonte Teilchen ist im selben Zustand wie das Ausgangsteilchen. Diese Teilchen kann man dann auch nicht unterscheiden, aber warum das Umgekehrte nicht gilt, muss ich noch verstehen.

Beim Klonen von Bosonen, z.B. Photonen, sieht es vielleicht sowieso anders aus. Z.B. verstehe ich unter dem Aufbau eines Lasers so etwas wie eine riesige Klonfabrik für Photonen. Aber für Photonen gibt es auch keine Photonen-Erhaltungszahl.

[Halman]

No-Cloning-Theorem

nein. Das Teilchen, dessen Zustand auf ein anderes Teilchen kopiert werden soll, und das Teilchen, auf den den der Zustand kopiert werden soll, können ja der gleichen Teilchenart angehören.

Ja, richtig - das hatte ich nicht bedacht. Danke für den Hinweis.

Wo man aufpassen muss, ist, was mit Cloning gemeint ist. Beim quantenmechanischen Klonen werden keine neuen Teilchen produziert, zumindest nicht bei Fermionen, sondern es werden Zustände geklont. Das geklonte Teilchen ist im selben Zustand wie das Ausgangsteilchen. Diese Teilchen kann man dann auch nicht unterscheiden, aber warum das Umgekehrte nicht gilt, muss ich noch verstehen.

Welche Schwierigkeiten Du auch immer hast, meine sind größer.

Aber dennoch erlaube ich mir, hier zu widersprechen. Wenn von Alice die Informationen des Teilchens T zu Bob übertragen werden, so erhält er keine "billige Kopie" von Alice, sondern das Quantenobjekt selbst wird durch die Übertragung der Zustände teleportiert, da es ja vollständig durch die diese beschrieben wird.
Oder um es anders zu formulieren: Die Information wird teleportiert und damit ist das Orignal T teleportiert. Bei Alice werden durch die Bell-Messung die Quantenzustände von T zerstört. Es kann nicht geklont werden.

Aber Silvia Arroyo Camejo kann dies wesendlich besser erkären:
Skurrile Quantenwelt - Silvia Arroyo Camejo - Google Books

Beim Klonen von Bosonen, z.B. Photonen, sieht es vielleicht sowieso anders aus. Z.B. verstehe ich unter dem Aufbau eines Lasers so etwas wie eine riesige Klonfabrik für Photonen. Aber für Photonen gibt es auch keine Photonen-Erhaltungszahl.

Oh, dies hatte ich immer übersehen.

[Agent Scullie]

Wo man aufpassen muss, ist, was mit Cloning gemeint ist. Beim quantenmechanischen Klonen werden keine neuen Teilchen produziert, zumindest nicht bei Fermionen, sondern es werden Zustände geklont. Das geklonte Teilchen ist im selben Zustand wie das Ausgangsteilchen. Diese Teilchen kann man dann auch nicht unterscheiden, aber warum das Umgekehrte nicht gilt, muss ich noch verstehen.

bei der quantenmechanischen Ununterscheidbarkeit geht es nicht darum, dass zwei Teilchen deswegen nicht voneinander unterscheidbar sind, weil sie im gleichen Zustand sind. Sondern darum, dass wenn in einem Zweiteilchensystem zwei Einteilchenzustände besetzt sind, es nicht möglich ist zu unterscheiden, ob nun das erste der beiden Teilchen im ersten Einteilchenzustand ist und das zweite Teilchen im zweiten Einteilchenzustand, oder umgekehrt das erste Teilchen im zweiten Zustand und das zweite im ersten. Es kann nur festgestellt werden, dass jeder der beiden Einteilchenzustände von jeweils einem Teilchen besetzt ist.

Oder anders gesagt: quantenmechanische Teilchen sind können durchaus voneinander unterschieden werden, aber nur anhand ihrer Quantenzahlen. Nimm wieder das Beispiel, dass Einteilchenzustände durch zwei Quantenzahlen charakterisiert werden, Impuls und Spin. Nimm an, die Zustände |k1,up> und |k2,down> seien besetzt. Dann kann nicht unterschieden werden, welches Teilchen den Zustand |k1,up> besetzt und welches den Zustand |k2,down>. Sehr wohl aber kann festgestellt werden, dass dasjenige Teilchen, das den Impuls k1 hat, zugleich den Spin up hat, und dasjenige Teilchen, dessen Impuls k2 ist, den Spin down.

[Halman]

Zur anspruchsvollen mathematischen Diskussion habe ich eine Frage:
Warum wird hier für den Impuls der Buchstabe k verwendet, und nicht das Zeichen p?

[irony]

@ Agent Scullie: Danke für die Erklärungen.

Zur anspruchsvollen mathematischen Diskussion habe ich eine Frage:
Warum wird hier für den Impuls der Buchstabe k verwendet, und nicht das Zeichen p?

Der Zusammenhang ist p = hquer k

k ist der Betrag des Wellenvektors Wave vector die Wellenzahl Wavenumber

Das taucht bei den ebenen Wellen auf: Plane wave die Eigenfunktionen des Impulsoperators zu den Eigenwerten hquer k sind.

Warum k und nicht p weiß ich auch nicht.

Hier Wave function heißt es nur

Sometimes the wave-vector k is used in place of momentum p, since they are related by the de Broglie relation

p = \hbar k,

and the equivalent space is referred to as k-space. Again it makes no difference which is used since p and k are equivalent - up to a constant.

und in Position and momentum space

Momentum space or k-space is the set of all wavevectors k, associated with particles - free and bound.[1] The terms "momentum" (symbol p, also a vector) and "wavevector" are used interchangeably due to the De Broglie relation p = ħk, meaning they are equivalent up to proportionality, although this is not true in a crystal, see below.

Bei ebenen Wellen im Vakuum macht es keinen Unterschied, aber anscheinend irgendwie in Kristallen:

For an electron (or other particle) in a crystal, its value of k relates almost always to its crystal momentum, not its normal momentum. Therefore k and p are not simply proportional but play different roles.

[Agent Scullie]

Bei ebenen Wellen im Vakuum macht es keinen Unterschied, aber anscheinend irgendwie in Kristallen:

das hat etwas damit zu tun, dass es in einem Kristall einen Gitterabstand gibt. Mit diesem Gitterabstand lassen sich reziproke Gittervektoren in Verbindung bringen. Nehmen wir zur Vereinfachung zunächst ein eindimensionales Gitter, d.h. eine lineare Kette von Atomrümpfen, jeder Atomrumpf im Gitterabstand a von seinem nächsten Nachbarn. Dann gibt es einen einzigen reziproken Gittervektor K, der dem Wellenvektor eines Teilchens entspricht, dessen Wellenlänge gleich dem Gitterabstand ist. Für den Betrag des reziproken Gittervektors gilt also: |K| = 2pi/a.

Nun nimm ein Elektron, dessen Wellenvektor k betragsmäßig kleiner als |K|/2 ist, |k| < |K|/2, dessen Wellenlänge folglich größer als der doppelte Gitterabstand ist. Man sagt, das Elektron (oder sein Wellenvektor) befindet sich in der ersten Brillouin-Zone. Da ist alles noch ganz einfach, das Elektron hat einen Impuls p = hquer k. Jetzt nimm ein Elektron, für dessen Wellenvektor |K|/2 < |k| < |K| gilt, dessen Wellenlänge also kleiner als 2a, aber größer als a, ist. Dieses Elektron befindet sich in der zweiten Brillouin-Zone. Ein Elektron, für das |K| < |k| < 3|K|/2 gilt, ist in der dritten Brillouin-Zone, usw.

Nun kann man folgendes machen, man kann einen Wellenvektor k aus der n-ten Brillouin-Zone in die erste Brillouin-Zone projizieren, indem man ein geeignetes Vielfaches des reziproken Gittervektors hinzuaddiert oder subtrahiert:

k' = k +/- m K

wobei das Pluszeichen dann anzuwenden ist, wenn k in negative Kettenrichtung zeigt und das Minuszeichen bei positiver Kettenrichtung. Der Faktor m ist in der 2. und 3. Brillouin-Zone 1, in der 4. und 5. 2, usw., d.h. er erhöht sich alle zwei Zonen um 1. k' liegt dann stets in der ersten Brillouin-Zone.

Bedeutsam ist das z.B. bei Halbleitern, wenn es darum geht, ob die Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband direkt oder indirekt ist:

Bandlücke ? Wikipedia

In dem Diagramm, das eine direkte Bandlücke darstellt, sind die beiden Beziehungen zwischen Wellenvektor k und Energie E für das Valenz- und Leitungsband in die erste Brillouin-Zone projiziert. Ohne diese Projektion wäre die Wellenvektor-Differenz Delta k bei einer direkten Bandlücke nicht null, sondern gleich einem reziproken Gittervektor.

Reale Gitter sind nun nicht eindimensional, sondern dreidimensional, dort ist es dann etwas komplizierter. Statt einen einzigen reziproken Gittervektor gibt es drei:

Reziprokes Gitter ? Wikipedia

Entsprechend ist auch das Schema der Brillouin-Zonen komplizierter:

Brillouin-Zone ? Wikipedia

http://users.physik.fu-berlin.de/~ag-fumagalli/lehre/fkp_ss08/folien/FKP_V07.pdf

Aber auch da gilt das Prinzip, dass Wellenvektoren stets mittels reziproken Gittervektoren in die erste Brillouin-Zone projiziert werden können. Hier werden noch einmal sehr schön der 1D- und 3D-Fall betrachtet:

http://e3.physik.uni-dortmund.de/~suter/Vorlesung/Festkoerperphysik_WS05_06/Folien/6.2_Baender.pdf

Man beachtet besonders die Seite "Zonenschema".

Wendet man nun von den beiden Begriffen Impuls und Wellenvektor einen auf das reduzierte Zonenschema an (Projektion in die erste Brillouin-Zone), und den anderen auf das erweiterte Zonenschema (keine Projektion), so sind beide Begriffe tatsächlich nicht mehr äquivalent. Ich schätze, dass es das ist, worauf deine Quelle anspielt.