Jede gerade Zahl ist Summe zweier Primzahlen

[irony]

Für den Beweis der goldbachschen Vermutung - jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden - gab es / gibt es (?) eine Million Dollar (siehe Wikipedia).

Warum ist es so schwer, so etwas Einfaches zu beweisen ?
1 Million Dollar Preisgeld müssten doch Motivation genug sein ?

Einfache Zahlenbeispiele sind: 16 = 11 + 5

40 = 23 + 17

100 = 41 + 59

Für immer größere Zahlen kann man vermuten, dass es auch irgendwie geht.

[Mondkalb]

Die Geschichte der Mathematik ist voll von solchen Vermutungen, die teilweise sogar relativ einfache, jedermann verständliche Sachverhalte betreffen und trotzdem sehr schwer zu beweisen sind.
Prominentes Beispiel ist Fermats großer Satz, dessen Beweis erst 1994 mit modernen mathematischen Methoden gelang und der 98 Seiten umfasste.
Es gibt ein sehr interessantes Buch von Simon Singh dazu.

Schon im Jahr 1900 hat David Hilbert eine Liste mit bis dahin ungelösten Problemen aufgestellt. Ähnliches geschah im Jahr 2000 mit einer Liste des Clay-Instituts. Für eine Lösung der Probleme gibt es jeweils eine Milliion Dollar.

[irony]

Prominentes Beispiel ist Fermats großer Satz, dessen Beweis erst 1994 mit modernen mathematischen Methoden gelang und der 98 Seiten umfasste.

Ja, eben. Und Goldbach sieht doch nun wirklich wie Kinderkram aus.
Warum ist das so schwer ?

Gerade für große Zahlen wie 100 gibt es ja nicht nur eine, sondern gleich mehrere Möglichkeiten:

100 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 43 + 57

Und je größer eine Zahl ist, um so mehr Möglichkeiten müsste es doch geben.

[Harmakhis]

Der Punkt ist, dass Du das nicht mit so Beispielen beweisen kannst. Du musst das exemplarisch und abstrahiert für alle natürlichen Zahlen - also bis Unendlich - beweisen. Und das ist wohl nicht so einfach.

[irony]

Der Punkt ist, dass Du das nicht mit so Beispielen beweisen kannst. Du musst das exemplarisch und abstrahiert für alle natürlichen Zahlen - also bis Unendlich - beweisen.

Ja, aber es gibt doch auch Teilbarkeitsregeln für alle möglichen Zahlen, z.B. (Wikipedia - Teilbarkeit)

Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist.

Und ich nehme mal an, dass diese Regeln auch alle allgemein bewiesen sind und nicht bloß für Beispiele. Und hier bei Goldbach geht es ja nur um die Summe zweier Zahlen, das sieht für mich noch einfacher aus als dieser ganze Teilbarkeitskram.

[Fiesel]

Ja, eben. Und Goldbach sieht doch nun wirklich wie Kinderkram aus.
Warum ist das so schwer ?

Gerade für Zahlen wie 100 gibt es ja nicht nur eine, sondern gleich mehrere Möglichkeiten:

100 = 11 + 89 = 41 + 59 = 43 + 57 = ...

die kombi "unendlich viele" + "unregelmäßiges auftreten" macht allgemeingültige beweise relativ schwer. soweit ich weiss, kann man bis heute z.b. auch keine funktion aufstellen, die N -> {Primzahlen} abbildet, ohne dabei ausprobieren.

[irony]

die kombi "unendlich viele" + "unregelmäßiges auftreten" macht allgemeingültige beweise relativ schwer. soweit ich weiss, kann man bis heute z.b. auch keine funktion aufstellen, die N -> {Primzahlen} abbildet, ohne dabei ausprobieren.

Ich habe jetzt auch noch mal etwas nachgedacht. Anfangs findet man sehr viele Primzahlen auf dem Zahlenstrahl, später immer seltener. Es gibt ja auch wesentlich mehr teilbare Zahlen als Primzahlen. Und vielleicht ist es dann bei richtig großen Zahlen doch ziemlich schwierig, zwei passende Summanden zu finden.

[Mondkalb]

Solche Fragen der analytischen Zahlentheorie sind oft anscheinend sehr schwer zu lösen.
So weiß man z. B. schon lange, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss, aber es ist nicht klar ob es unendlich viele Primzahlzwillinge (Wikipedia) gibt.

[Bynaus]

@transportermalfunction: Sehe es doch mal so: Kannst du zuverlässig ausschliessen, dass es KEINE EINZIGE natürliche Zahl gibt, die man NICHT als Summe von zwei Primzahlen schreiben kann?

Eben.

[irony]

@transportermalfunction: Sehe es doch mal so: Kannst du zuverlässig ausschliessen, dass es KEINE EINZIGE natürliche Zahl gibt, die man NICHT als Summe von zwei Primzahlen schreiben kann?

Soll das heißen, die Goldbachsche Vermutung ist falsch ?

[Mondkalb]

Soll das heißen, die Goldbachsche Vermutung ist falsch ?

Das kann eben niemand sagen, weil es bisher weder einen Beweis dafür noch dagegen gibt.

[irony]

Das kann eben niemand sagen, weil es bisher weder einen Beweis dafür noch dagegen gibt.

Das ist mir schon klar, sonst hätte ich ja nicht die Frage nach dem Warum gestellt. Aber ich verstehe den Einwurf von Bynaus nicht.

[Mondkalb]

Bynaus hat eigentlich nur noch mal pointiert die Frage nach einem negativen Beweis formuliert.

[irony]

Bynaus hat eigentlich nur noch mal pointiert die Frage nach einem negativen Beweis formuliert.

Mir ist schon klar, dass es reicht, wenn man nur eine einzige gerade Zahl findet, die sich nicht als Summe von zwei Primzahlen schreiben lässt. Nur verstehe ich nicht, was das mit meiner Frage zu tun hat, warum es so schwer ist, das Problem - positiv oder negativ - zu entscheiden, und ob Bynaus jetzt glaubt, dass die Vermutung falsch ist.

[Cordess]

Soll das heißen, die Goldbachsche Vermutung ist falsch ?

Eine Vermutung ist nur eine Vermutung wie der Name bereits sagt, demnach entscheidet sie nicht ob etwas falsch oder richtig ist, dafür benötigt es Beweise.