Bremswege eines antrieblosen Raumschiff

[Agent Scullie]

So, ich hab's jetzt mal für elastische Stöße zwischen Raumschiff und Teilchen gerechnet, gegenüber inelastischen Stößen tut sich aber nicht viel. Wenn ein Massenelement nicht vom Schiff absorbiert wird, sondern elastiasch abprallt, wird es nicht auf die Geschwindigkeit des Raumschiffes beschleunigt, sondern auf die doppelte Geschwindigkeit. Es gilt folglich

dp_Raumschiff = -2 v_Raumschiff * dm

Alles andere bleibt aber gleich, insbesondere gilt weiterhin

dm = A * rho * v_Raumschiff * dt

Es kommt daher wieder Newtonsche Reibung heraus, mit einer Bremskraft proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit, nur mit doppelt so hohem Reibungskoeffizienten.

Anbei nochmal eine ausführliche Rechnung für inelastische und elastische Kollisionen sowie zum Vergleich für Stokessche Reibung.

[McWire]

in der Tat: du willst die Abbremsung eines Raumschiffes berechnen, und rechnest dabei mit einer konstanten Geschwindigkeit des Raumschiffes. Mir fallen nur wenige Dinge ein, die absurder sein könnten.

Nein tue ich nicht, ich rechne mit einem konstanten Impuls des Raumschiff, was ein riesengroßer Unterschied ist, da die Raumschiffmasse mit der Zeit zunimmt und damit die Geschwindigkeit bei gleichem Impuls abnimmt.

Raumschiff mit Masse m1 fliegt mit v1<>0
Teilchen mit Masse m2 ruht mir v2=0

Dann tritt eine Kollision auf, wobei das Teilchen am Raumschiff "kleben" bleibt.

Nun hat man folgendes Szenario:

Raumschiff mit Masse (m1+m2) fliegt mit v1' < v1.

Oder anders gesagt:

Raumschiff mit Masse m1 fliegt mit neuer Geschwindigkeit v1'<v1, während das Teilchen mit Masse m2 nun eine Geschwindigkeit v2'=v1'<>0 hat.

Was kann man da falsch interpretieren?

Natürlich hast du recht (wie ich gestern schon selbst geschrieben habe), dass durch Masseabsorbtion die Geschwindigkeit nie Null wird, da ja Impulserhaltung gilt.

Das Raumschiff muss also x*m2>>m1 absorbieren, damit es einen "Quasi-Stillstand" erreicht, also eine sehr sehr kleine Geschwindigkeit.

[Agent Scullie]

Nein tue ich nicht, ich rechne mit einem konstanten Impuls des Raumschiff,

ach ja? Ich zitiere mal aus Posting #14:

p(Raumschiff_neu) = p(Raumschiff_alt) - p(Teilchen_neu)

Für x Teilchen dann

p(Raumschiff_neu) = p(Raumschiff_alt) - x * p(Teilchen_neu)

p(Raumschiff_neu) soll 0 werden

Das sieht irgendwie nicht nach konstantem p(Raumschiff) aus. Sonst würde allein schon die Unterscheidung zwischen p(Raumschiff_neu) und p(Raumschiff_alt) keinen Sinn machen.

Raumschiff mit Masse m1 fliegt mit v1<>0
Teilchen mit Masse m2 ruht mir v2=0

Dann tritt eine Kollision auf, wobei das Teilchen am Raumschiff "kleben" bleibt.

Nun hat man folgendes Szenario:

Raumschiff mit Masse (m1+m2) fliegt mit v1' < v1.

Oder anders gesagt:

Raumschiff mit Masse m1 fliegt mit neuer Geschwindigkeit v1'<v1, während das Teilchen mit Masse m2 nun eine Geschwindigkeit v2'=v1'<>0 hat.

Was kann man da falsch interpretieren?

ganz einfach: es handelt sich dabei schlicht nicht um die Rechnung, die du gemacht hast.

Deine neuerliche Interpretation enthält bislang überhaupt noch gar keine Rechnung, sondern beschränkt sich auf die Feststellung, dass das Raumschiff nach jeder Teilchenabsorption langsamer wird.

Das Raumschiff muss also x*m2>>m1 absorbieren, damit es einen "Quasi-Stillstand" erreicht, also eine sehr sehr kleine Geschwindigkeit.

so könnte man das natürlich auch rechnen: man fordert, dass die Geschwindigkeit des Raumschiffes z.B. um den Faktor 1000 kleiner wird, woraus folgt, dass seine Masse durch Teilchenabsorption um den Faktor 1000 größer werden muss. Dann berechnet man das Volumen, dass das Schiff dazu durchfliegen muss, und erhält durch Devision durch die Querschnittsfläche die dazu nötige zurückzulegende Strecke:

1000 * 4,5E9 kg = 4,5 E12 kg

Daraus das zu durchfliegende Volumen:

4,5 E12 kg / 1,67E-21 kg/m³ = 2,69E33 m³

Division durch Querschnittsfläche:

2,69E33 m³ / 69000 m² = 3,9E28 m = 4,128 Billionen Lichtjahre

[McWire]

ach ja? Ich zitiere mal aus Posting #14:

Das sieht irgendwie nicht nach konstantem p(Raumschiff) aus. Sonst würde allein schon die Unterscheidung zwischen p(Raumschiff_neu) und p(Raumschiff_alt) keinen Sinn machen.

ganz einfach: es handelt sich dabei schlicht nicht um die Rechnung, die du gemacht hast.

Deine neuerliche Interpretation enthält bislang überhaupt noch gar keine Rechnung, sondern beschränkt sich auf die Feststellung, dass das Raumschiff nach jeder Teilchenabsorption langsamer wird.

Ich meinte das gleiche, habs nur ein bissl blöd ausgedrückt.

.. und p(Raumschiff_neu) kann ja sowohl durch Geschwindigkeits als auch durch Masseänderung zu Stande kommen.

Impulserhaltung bleibt Impulserhaltung und p(Teilchen) + p(Raumschiff) = p'(Teilchen) + p'(Raumschiff) gilt in allen Varianten und Bezugssystemen.

Wenn Raumschiff und Teilchen allerdings plastisch verschmelzen, dann ist die Summe p'(Teilchen_neu)+p'(Raumschiff_neu) gerade p(Raumschiff_neu)

anders formuliert:

x * p(Teilchen_alt) + p(Raumschiff_alt) = p(Raumschiff_neu)

x = (p(Raumschiff_neu) - p(Raumschiff_alt)) / p(Teilchen_alt)

Das Problem mit p(Teilchen_alt) = 0 ist eben, dass es dann für x keine Lösung gibt.

[Agent Scullie]

Mir ist gerade im geposteten PDF-Dokument ein Fehler aufgefallen, was die Rechnung für Teilchenabsorption betrifft. Wenn man nachrechnet, stellt sich heraus, dass wenn das Raumschiff die Strecke s = M/(A*rho) durchlaufen hat, innerhalb der es durch Absorption seine Masse verdoppelt und seine Geschwindigkeit daher auf die Hälfte, also v_0/2, sinken sollte, die Geschwindigkeit auf v_0/e abnimmt. Der Grund ist, dass meine Rechnung einen wichtigen Effekt außer acht lässt: wenn das Raumschiff durch die Kollision mit einem Teilchen an Geschwindigkeit verliert, verlieren auch alle zuvor schon absorbierten Teilchen ebenfalls an Geschwindigkeit, von denen bekommt das Schiff daher einen Teil seines Impulses zurück, so dass die Geschwindigkeit weniger schnell fällt als in meiner Rechnung.

Im zweiten Abschnitt, wo es im elastische Stöße geht, stimmt die Rechnung aber wieder: den Impuls, den das Schiff einmal an ein elastisch abgepralltes Teilchen verloren hat, den bekommt es nicht wieder.

Die richtige Rechnung für inelastische Absorption geht wie im letzten Posting skizziert: auf der Strecke s fällt die Geschwindigkeit um den Faktor

(M + A rho s) / M

um den sich auf dieser Strecke die Masse durch Teilchenabsorption erhöht. D.h.

v(s) = v_0 M / (M + A rho s)


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Agent Scullie schrieb nach 2 Minuten und 19 Sekunden:

Ich meinte das gleiche, habs nur ein bissl blöd ausgedrückt.

.. und p(Raumschiff_neu) kann ja sowohl durch Geschwindigkeits als auch durch Masseänderung zu Stande kommen.

durch Massenänderung wohl kaum, schließlich bleibt der Gesamtimpuls von Raumschiff + absorbierte Teilchen konstant.

Impulserhaltung bleibt Impulserhaltung und p(Teilchen) + p(Raumschiff) = p'(Teilchen) + p'(Raumschiff) gilt in allen Varianten und Bezugssystemen.

Wenn Raumschiff und Teilchen allerdings plastisch verschmelzen, dann ist die Summe p'(Teilchen_neu)+p'(Raumschiff_neu) gerade p(Raumschiff_neu)

anders formuliert:

x * p(Teilchen_alt) + p(Raumschiff_alt) = p(Raumschiff_neu)

x = (p(Raumschiff_neu) - p(Raumschiff_alt)) / p(Teilchen_alt)

Das Problem mit p(Teilchen_alt) = 0 ist eben, dass es dann für x keine Lösung gibt.

und deswegen ist dieser Rechenweg unbrauchbar.

[Agent Scullie]

Hier noch einmal die korrekten Rechnungen für Abbremsung durch Teilchenabsorption, elastische Teilchenkollision und Stokesscher Reibung. Bei inelastischer Teilchenabsorption kommt für die Bremskraft eine Abhängigkeit von der dritten Potenz der Geschwindigkeit heraus, es handelt sich als um einen dritten Reibungstyp neben Newtonscher und Stokesscher Reibung.

[McWire]

durch Massenänderung wohl kaum, schließlich bleibt der Gesamtimpuls von Raumschiff + absorbierte Teilchen konstant.

Da das Raumschiff Teilchen absorbiert, welche sich langsamer als es selbst bewegen, nämlich garnicht, nimmt bei der Teilchenabsorbtion die Geschwindigkeit automatisch ab.

Die Masse des Raumschiff nimmt stetig zu, wobei die absorbierte Masse keinen Impuls besitzt, was nach der Impulserhaltung eine sinkende Geschwindigkeit zur Folge haben muss.

Den einzigen Fehler den ich gemacht habe, war die abnehmende Geschwindigkeit zu berücksichtigen, sodass die Geschwindigkeitsreduktion nicht konstant ist.

Aber im Prinzip ist an dem Lösungsansatz nichts falsch.

@ PDF

Danke für deine Mühe.

Wenn man das richtig sieht, so wird das Raumschiff in keinem der drei Fälle nach einer endlichen Zeitspanne auf v=0 kommen?

Gut ist auch logisch, da die Reibung mit der Geschwindigkeit abnimmt und somit es immer länger dauert um um eine bestimmte Geschwindigkeitsdifferenz abzubremsen.

Trotzdem gilt doch in der Erdatmosphäre, dass ein Auto oder Flugzeug oder Zug ohne Antrieb nach einer endlichen Zeitspanne zum Stillstand kommt.
Müsste also im Weltall auch irgendwie funktionieren, solange die Materiedichte konstant ist.

[Agent Scullie]

Wenn man das richtig sieht, so wird das Raumschiff in keinem der drei Fälle nach einer endlichen Zeitspanne auf v=0 kommen?

Gut ist auch logisch, da die Reibung mit der Geschwindigkeit abnimmt und somit es immer länger dauert um um eine bestimmte Geschwindigkeitsdifferenz abzubremsen.

Trotzdem gilt doch in der Erdatmosphäre, dass ein Auto oder Flugzeug oder Zug ohne Antrieb nach einer endlichen Zeitspanne zum Stillstand kommt.
Müsste also im Weltall auch irgendwie funktionieren, solange die Materiedichte konstant ist.

das hängt damit zusammen, dass zum einen Modelle wie Newtonsche oder Stokessche Reibung, mit einem festen Zusammenhang zwischen Bremskraft und Geschwindigkeit, nur Näherungen sind, und zum anderen eine z.B. exponentiell abfallende Geschwindigkeit nach einer gewissen Zeit unmessbar klein wird, so dass sie nicht mehr vom Stillstand unterschieden werden kann.

Bei einem realen kosmischen Medium sind die Teilchen auch keineswegs alle in Ruhe, sondern weisen thermische Bewegungen auf, zudem hat man auch nicht nur elastische oder inelastische Stöße, sondern Mischformen aus beidem. Z.B. kann man davon ausgehen, dass sich eine begrenzte Menge an Teilchen vor der Raumschifffront staut, was in guter Näherung durch eine inelastische Absorption beschreibbar wäre, die Teilchen ansonsten aber eher abprallen oder am Schiff vorbeiströmen, was dann überhaupt nicht mehr als einfache Teilchen-Schiff-Kollision betrachtet werden könnte, sondern eine Einbeziehung der Wechselwirkungen zwischen den Teilchen des Mediums erfordern würde. Kurzum: die Situation wäre sehr viel komplizierter als in deinem einfachen Modell angenommen.