Bremswege eines antrieblosen Raumschiff

[McWire]

Durch eine Diskussion in einem Rollenspiel über Trägheit und Materiedichte im Weltall bin ich auf die Frage gekommen, wie weit ein Raumschiff fliegen kann, wenn es sich alleine durch die Reibung an interstellarer Materie abbremsen lässt.

Jetzt habe ich in Interstellare Materie ? Wikipedia grobe Richtwerte für die Materiedichte im Weltall gefunden.

Das Problem ist, dass ich keine Formel gefunden habe, mit der ich aus diesen Dichteangaben den Reibwert errechnen kann. Als Beispiel soll die Form und Größe einer Galaxy-Klasse dienen.

Gravitationsfelder möchte ich bei der Berechnung in erster Instanz nicht berücksichtigen, dass kann man ja noch später dazu berechnen.

Die Frage ist also:

Wenn ein Raumschiff mit der Form und Größe einer Galaxy-Klasse (Star Trek TNG) mit einer Geschwindigkeit von 1000 km/s sich im interstellaren Raum befindet, wie lange würde es dauern, bis es durch die Reibung mit der vorhandenen interstellaren Materie auf relativem Stillstand abgebremst wird und welche Flugstrecke würde es dabei zurücklegen?

Bei der Berechnungen sollen keine fiktiven Einflüsse wie Deflektorfeld, Bussard-Kollektor, u.ä. berücksichtigt werden.

Ich bin mal gespannt auf eure Ergebnisse.

[Jolly]

Also ohne Berechnung behaupte ich mal, niemals, zumindestens nichtmehr zu Lebzeiten der Crew! Aber ich lasse mich gerne mathematisch belehren.

[HMS Fearless]

Die Formel für Luftwiderstand ist eigentlich recht simpel:

Luftwiderstand in Newton = Strömungswiderstandskoeffizient x Projektionsfläche in Quadratmeter x Dichte des Mediums in Kilogramm pro Kubikmeter.

Probleme dürftest du mit dem Beschaffen der ersten beiden Faktoren bekommen

[Enas Yorl]

Zusätzlich müsste man wohl noch die Bremswirkung des galaktischen Magnetfeldes berücksichtigen, allerdings ist dieses nicht überall gleich stark. Und man müsste die magnetische Permeabilität des Raumschiffes kennen, um zu wissen wie stark dieses mit den galaktischen Magnetfeld wechselwirkt.

[Agent Scullie]

Die Formel für Luftwiderstand ist eigentlich recht simpel:

Luftwiderstand in Newton = Strömungswiderstandskoeffizient x Projektionsfläche in Quadratmeter x Dichte des Mediums in Kilogramm pro Kubikmeter.

an der Formel stimmt was nicht: die Luftwiderstandskraft in Newton hängt von der Geschwindigkeit ab, die sollte daher auch irgendwo auftauchen.

Es gibt im wesentlichen zwei Modelle für Reibung: bei der Stokesschen Reibung ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit, bei der Newtonsche Reibung proportional zum Geschwindigkeitsquadrat.

[McWire]

Zusätzlich müsste man wohl noch die Bremswirkung des galaktischen Magnetfeldes berücksichtigen, allerdings ist dieses nicht überall gleich stark. Und man müsste die magnetische Permeabilität des Raumschiffes kennen, um zu wissen wie stark dieses mit den galaktischen Magnetfeld wechselwirkt.

Ja gut, kommt auch noch dazu. Mir ging es in erster Linie um die mechanische Reibung mit dem interstellaren Medium.

Magnetfelder und gravitative Einwirkungen kann man ja in zweiter Instanz noch oben drauf rechnen.

Ich versuche mich mal selbst in einem Lösungsansatz.

Kinetische Energie und Impuls des Raumschiff:

Ein solches Raumschiff hat eine Masse von etwa 4,5 Mrd. kg.

Bei 1000 km/s ergibt sich eine nichtrelativistische kinetische Energie von 2,25*10^21 Joule.

Der Impuls des Raumschiff liegt bei 4,5*10^15 kg*m/s.

Interstellares Medium:

Das interstellare Medium hat eine durchschnittliche Dichte von 1 Teilchen pro cm³ also von 1*10^6 Teilchen pro m³.
Da das meiste Wasserstoff ist, welcher eine Masse von 1,00794 u also 1,67*10^-27 kg besitzt.

Damit ist die Dichte bei 1,67*10^-21 kg/m³

Fläche des Raumschiff:

Das Raumschiff hat etwa eine Breite von 460 Metern und eine Höhe von etwa 150 Meter (hier schwanken die Angaben aus den Büchern -> Galaxy-Klasse daher nehme ich grob gerundete Werte.)

Das macht eine Fläche von 69.000 m².

Lösung über inelastischen Stoßprozess:
Nehmen wir mal an, dass es zu plastischen Stoßprozessen kommt, also das Raumschiff die interstellare Materie aufsammelt.

Da die Teilchen relativ zum Raum ruhen, haben sie relativ zum Raumschiff einen Impuls von -1,67*10^-21 kg*m/s

p'(Raumschiff) = p(Raumschiff) + p(Teilchen)

0 = p(Raumschiff) + x*p(Teilchen)

Damit das Raumschiff auf eine Geschwindigkeit von 0 und damit auf einen Impuls von 0 kommt, muss es:

x= p(Raumschiff) / -p(Teilchen) Teilchen "absorbieren"

x = 4,5*10^15 / 1,67*10^-21

x = 2,69*10^36 Teilchen

Bei einer Dichte von 10^6 Teilchen pro m³ muss es also 2,69*10^30 m³ Raum durchqueren.

Bei einer Fläche von 69.000 m² ist das eine Flugstrecke von 3,9*10^25 m = 3,9*10^22 km.

Das entspricht 4,128 Mrd Lichtjahre.

[Jolly]

Da war ich ja garnicht so verkehrt mit dem... fast überhaupt nicht anhalten

[Pyromancer]

Da die Teilchen relativ zum Raum ruhen, haben sie relativ zum Raumschiff einen Impuls von -1,67*10^-21 kg*m/s

Da das Raumschiff mit jedem Stoßprozess langsamer wird, sinkt auch der Impuls der Teilchen, d.h. je länger das Raumschiff fliegt, desto weniger stark wird es gebremst.

Das entspricht 4,128 Mrd Lichtjahre.

Die tatsächliche Zahl dürfte um einiges höher sein.

[McWire]

Da das Raumschiff mit jedem Stoßprozess langsamer wird, sinkt auch der Impuls der Teilchen, d.h. je länger das Raumschiff fliegt, desto weniger stark wird es gebremst.


Die tatsächliche Zahl dürfte um einiges höher sein.

Ok, dass habe ich vergessen mit einzubeziehen.

[HMS Fearless]

Kann man da nicht einfach den druchschnittlichen Impuls (Impuls am Anfang :2) zum rechnen nehmen?

[Agent Scullie]

Lösung über inelastischen Stoßprozess:
Nehmen wir mal an, dass es zu plastischen Stoßprozessen kommt, also das Raumschiff die interstellare Materie aufsammelt.

Da die Teilchen relativ zum Raum ruhen, haben sie relativ zum Raumschiff einen Impuls von -1,67*10^-21 kg*m/s

p'(Raumschiff) = p(Raumschiff) + p(Teilchen)

0 = p(Raumschiff) + x*p(Teilchen)

Damit das Raumschiff auf eine Geschwindigkeit von 0 und damit auf einen Impuls von 0 kommt, muss es:

x= p(Raumschiff) / -p(Teilchen) Teilchen "absorbieren"

die Rechnung scheitert schon daran, dass du hier die Impulse in ein- und demselben Bezugssystem einsetzen musst. Im Ruhsystem des kosmischen Mediums haben die Teilchen den Impuls null, du kannst hier also nicht denjenigen Impuls einsetzen, den sie im Ruhsystem des Raumschiffes haben.

Wenn du eine total inelastische Kollision des Raumschiffs mit dem "Körper" kosmisches Medium betrachten willst, erhältst du immer, dass der Anfangsimpuls des Raumschiffes auf das System Raumschiff + kosmisches Medium verteilt wird. Nur wenn du annimmst, dass die Gesamtmasse des kosmischen Mediums viel größer ist als die Masse des Raumschiffes (was, wenn du die Gesamtmasse des kosmischen Mediums in der Galaxis zugrundelegst, ja auch zutrifft), bekommst du das Ergebnis, dass der Impuls des Raumschiffes praktisch vollständig vom kosmischen Medium aufgenommen wird, die Geschwindigkeitsänderung des kosmischen Mediums aber zugleich vernachlässigbar klein ist.

Dadurch erhältst du aber nur das Ergebnis, dass das Raumschiff schließlich zum Stillstand kommt. Die Eindringtiefe des Raumschiffs in den "Körper" kosmisches Medium, also die Strecke, nach der das Schiff zum Stillstand kommt, kann auf diese Weise nicht hergeleitet werden. Es führt wohl kein Weg daran vorbei, mit Reibungskoeffizienten zu rechnen.

Immerhin kann man zeigen, dass für Stokessche Reibung (Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit), die zurückgelegte Strecke bis zum Stillstand endlich ist. Die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ist:

v(t) = v0 exp(-t/tau)

mit v0 = Anfangsgeschwindigkeit und tau = Kehrwert des Reibungskoeffizienten. Mit der Zeit klingt die Geschwindigkeit somit expontentiell ab, wird also nie exakt null. Man könnte meinen, dass dann auch das Raumschiff nicht nach einer endlichen Strecke zum Stillstand kommt, dem ist jedoch nicht so. Man kann die zurückgelegte Strecke durch Integrieren der Geschwindigkeit nach der Zeit bestimmen:

s(t) = int_0^t v(t') dt' = v0 int_0^t exp(-t'/tau) dt'

= -v0 tau ( exp(-t/tau) - 1 )

= v0 tau (1 - exp(-t/tau))

Für t = 0 ist s(0) = 0, mit wachsendem t nähert sich s an v0*tau an, und überschreitet diesen Wert niemals. Das Schiff kommt folglich nach der endlichen Strecke v0*tau zum Stillstand.

Edit: Das Bild der Abbremsung durch Teilchenabsorption läuft übrigens auf Newtonsche Reibung hinaus, d.h. Proportionalität der Reibungskraft zum Quadrat der Geschwindigkeit. Das kann man folgendermaßen zeigen: wenn das Raumschiff ein Massenelement dm des kosmischen Mediums absorbiert, wird dieses auf die aktuelle Geschwindigkeit v des Raumschiffs beschleunigt. Aufgrund der Impulserhaltung verliert das Schiff dabei den Impuls dp = dm*v an das absorbierte Massenelement. Die auf das Raumschiff wirkende Bremskraft ist daher

F = -dp/dt = -v * dm/dt

Für die pro Zeiteinheit absorbierte Masse dm/dt gilt nun, dass sie durch die Querschnittsfläche A des Schiffes, die Massendichte rho des kosmischen Mediums, und die Geschwindigkeit des Raumschiffs gegeben ist:

dm/dt = A * rho * v

Das kann man sich dadurch klarmachen, dass das Schiff im Zeitintervall dt das Volumen dV = A*v*dt durchfliegt und dabei eine Masse dm = rho*dV absorbiert. Damit ergibt sich für die Bremskraft

F = - A * rho * v²

also eine quadratische Abhängigkeit von der Geschwindigkeit. Man kann nun auch für die Newtonsche Reibung Geschwindigkeit und Strecke als Funktionen der Zeit ermitteln, dabei ergibt sich, mit beta := A*rho/M, wobei M die Raumschiffmasse ohne absorbierte Teilchen ist:

v(t) = 1 / (1/v0 + beta * t)

s(t) = 1/beta ln (1 + beta * t / v0)

Anders als bei Stokesscher Reibung ist die zurückgelegte Strecke logarithmisch in der Zeit und hat insbesondere keinen Maximalwert, das Schiff steht folglich nicht nach einer endlichen Strecke still. Wir können jedoch einen mittleren Bremsweg definieren, nach dem das Argument des Logarithmus z.B. auf e² angewachsen ist:

<s> = ln(e²) / beta = 2 / beta = 2M / (A*rho)

Für M = 4,5E9 kg, A = 69000 m², rho = 1,67E-21kg/m³ ergibt das

<s> = 4,5E9 / (6,9E4 * 1,67E-21) kg / (m² * kg/m³) = 3,9E25 m = 4,128 Mrd. Lichtjahre

Also zufällig das gleiche Ergebnis wie deins

[McWire]

Dadurch erhältst du aber nur das Ergebnis, dass das Raumschiff schließlich zum Stillstand kommt. Die Eindringtiefe des Raumschiffs in den "Körper" kosmisches Medium, also die Strecke, nach der das Schiff zum Stillstand kommt, kann auf diese Weise nicht hergeleitet werden.

Das glaube ich dir nicht.

Wenn ein Raumschiff einen Impuls p hat, brauche ich doch nur auszurechnen, mit wievielen Teilchen mit Impuls p' es kollidieren muss, bis es seinen gesamten Impuls auf die kosmischen Teilchen verteilt hat, also p=Summe von 0 bis x (p') ist.

Daraus ergibt sich dann eben die von mir oben empirisch abgeleitete Formeln: p+p'*x = 0 -> x = p/-p'

Aus dieser Anzahl x der Teilchen kann ich über die Teilchendichte das Volumen berechnen, welches das Raumschiff "berühren" muss um die Anzahl x Kollisionen durchgeführt zu haben.

Und aus dem Volumen kann ich über die Fläche des Raumschiff dann die Strecke berechnen die es zurücklegen muss, bis es das entsprechende Volumen sozusagen verdrängt oder durchschritten hat.

Was soll an dieser Überlegung falsch sein?

[Agent Scullie]

Das glaube ich dir nicht.

Wenn ein Raumschiff einen Impuls p hat, brauche ich doch nur auszurechnen, mit wievielen Teilchen mit Impuls p' es kollidieren muss, bis es seinen gesamten Impuls auf die kosmischen Teilchen verteilt hat, also p=Summe von 0 bis x (p') ist.

Daraus ergibt sich dann eben die von mir oben empirisch abgeleitete Formeln: p+p'*x = 0 -> x = p/-p'

hättest du mein Posting aufmerksam gelesen, insbesondere den ersten Absatz, wäre dir aufgefallen, dass ich dargelegt habe, dass p'=0 ist, da die Teilchenimpulse im Ruhsystem des kosmischen Mediums einzusetzen sind. Dein Fehler bestand darin, den Raumschiffimpuls im Ruhsystem des kosmischen Mediums, aber die Teilchenimpulse im Ruhsystem des Raumschiffs zugrundezulegen.

Die korrekte Rechnung für eine Teilchenabsorptions-Bremsung ist freilich insofern auch eine inelastische Stroß-Rechnung, als dass ein inelastischer Stoß des Raumschiffs mit jedem einzelnen Teilchen (bzw. Massenelement) angenommen wird.


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Agent Scullie schrieb nach 7 Minuten und 59 Sekunden:

Kann man da nicht einfach den druchschnittlichen Impuls (Impuls am Anfang :2) zum rechnen nehmen?

der durchschnittliche Impuls ist ja nicht einfach die Hälfte vom Anfangsimpuls. Das wäre nur dann der Fall, wenn der Impuls eine lineare Funktion der Zeit (oder der Größe, über die gemittelt werden soll) wäre, wovon man aber i.a. nicht ausgehen kann. Im allgemeinen Fall ist der mittlere Impuls gegeben durch

<p> = 1/T int_0^T p(t) dt

mit T = Dauer des Zeitraumes über den gemittelt wird. Man muss also die Funktion p(t) kennen, diese aber soll im betrachten Fall ja gerade ermittelt werden.

[McWire]

hättest du mein Posting aufmerksam gelesen, insbesondere den ersten Absatz, wäre dir aufgefallen, dass ich dargelegt habe, dass p'=0 ist, da die Teilchenimpulse im Ruhsystem des kosmischen Mediums einzusetzen sind. Dein Fehler bestand darin, den Raumschiffimpuls im Ruhsystem des kosmischen Mediums, aber die Teilchenimpulse im Ruhsystem des Raumschiffs zugrundezulegen.

Die korrekte Rechnung für eine Teilchenabsorptions-Bremsung ist freilich insofern auch eine inelastische Stroß-Rechnung, als dass ein inelastischer Stoß des Raumschiffs mit jedem einzelnen Teilchen (bzw. Massenelement) angenommen wird.

Die Rechnung würde auch mit dem Ausgangsimpuls p'=0 funktionieren, da nach dem Stoßprozess das Teilchen einen neuen Impuls p'' <> 0 hat und man dann trotzdem mit der Impulsdifferenz pro Teilchen rechnen kann.

Dann nimmt man eben die Gleichung p(Raumschiff_alt) + p(Teilchen_alt) = p(Raumschiff_neu) + p(Teilchen_neu)

mit p(Teilchen_alt) = 0 statt p(Teilchen_neu) = 0

-> p(Raumschiff_neu) = p(Raumschiff_alt) - p(Teilchen_neu)

Für x Teilchen dann

p(Raumschiff_neu) = p(Raumschiff_alt) - x * p(Teilchen_neu)

p(Raumschiff_neu) soll 0 werden, also gilt: p(Raumschiff_alt) = x * p(Teilchen_neu)


Meine alte Gleichung war aus Sicht des Raumschiff, daher p(Teilchen_neu) nach der Kollision 0, da es dann im Bezug zum Raumschiff ruht, weil es ja mitgeführt wird.

Aller klar?

Ok, einen Denkfehler habe ich beim Überfliegen doch noch gefunden. Wenn das Raumschiff die kollidierten Teilchen mitführt, dann halbiert sich ja gerade mal seine Geschwindigkeit, da es ja im Prinzip nur zusätzliche Masse aufsammelt und dieser einen Impuls verleiht.
Damit es wirklich den Impuls auf 0 bringt, müsste man von einem elastischen Stoß ausgehen.

[Agent Scullie]

Die Rechnung würde auch mit dem Ausgangsimpuls p'=0 funktionieren, da nach dem Stoßprozess das Teilchen einen neuen Impuls p'' <> 0 hat und man dann trotzdem mit der Impulsdifferenz pro Teilchen rechnen kann.

Dann nimmt man eben die Gleichung p(Raumschiff_alt) + p(Teilchen_alt) = p(Raumschiff_neu) + p(Teilchen_neu)

mit p(Teilchen_alt) = 0 statt p(Teilchen_neu) = 0

-> p(Raumschiff_neu) = p(Raumschiff_alt) - p(Teilchen_neu)

oder einfach, wie ich es geschrieben habe:

dp_Raumschiff = - dm * v_Raumschiff

mit dm = Teilchenmasse. Die infinitesimale Formulierung hat den enormen Vorteil, dass man die Differential- und Integralrechnung benutzen kann. Das ist vor allem dann von Vorteil, wenn man berücksichtigt, was du außer acht gelassen hast:

Für x Teilchen dann

p(Raumschiff_neu) = p(Raumschiff_alt) - x * p(Teilchen_neu)

p(Raumschiff_neu) soll 0 werden, also gilt: p(Raumschiff_alt) = x * p(Teilchen_neu)

dass nämlich die Geschwindigkeit des Raumschiffes mit jedem absorbierten Teilchen kleiner wird, da Impuls an das absorbierte Teilchen abgegeben wird. Deswegen ist p(Teilchen_neu) = dm*v_Raumschiff keine Konstante, und deswegen ist deine Rechnung falsch.
Die korrekte Rechnung ist

p(Raumschiff_neu) = p(Raumschiff_alt) - int_0^t dm/dt' v_Raumschiff(t') dt'

Ergebnis siehe mein Posting

Aller klar?

in der Tat: du willst die Abbremsung eines Raumschiffes berechnen, und rechnest dabei mit einer konstanten Geschwindigkeit des Raumschiffes. Mir fallen nur wenige Dinge ein, die absurder sein könnten.

Ok, einen Denkfehler habe ich beim Überfliegen doch noch gefunden. Wenn das Raumschiff die kollidierten Teilchen mitführt, dann halbiert sich ja gerade mal seine Geschwindigkeit, da es ja im Prinzip nur zusätzliche Masse aufsammelt und dieser einen Impuls verleiht.

Wie kommst du denn darauf? Seine Geschwindigkeit vermindert sich um den Faktor, um den seine Masse durch die Teilchenabsorption zunimmt. Solange das Raumschiff nicht anhält, fährt es fort, Teilchen zu absorbieren, und dadurch an Masse zu gewinnen wie auch an Geschwindigkeit zu verlieren. Nach Halbierung seiner Geschwindigkeit ist da noch lange nicht Schluss.

Damit es wirklich den Impuls auf 0 bringt, müsste man von einem elastischen Stoß ausgehen.

vielleicht kommt dabei ja Stokessche Reibung raus. Ich versuch's mal durchzurechnen.