Beweis der Vollständigen Induktion - wie?

[mattberg]

Hi,
wir haben im Moment das Thema der vollständigen Induktion, aber ich blick da nicht durch.
Nehmen wir mal eine Folge:
1=1²
1+3=2²
1+3+5=3²
etc.
also:
1+3+5+...+(2n-1)=n² (Sigma hatten wir noch nix, kann damit also leider nix anfangen)

Der erste Arbeitsschritt ist dann das ganze für das erste Folgeglied zu belegen, also rechen:

Induktionsanfang:
2n-1=n² => 2*1-1=1=1²

Das wäre gemacht:
aber dann der zweite, zu beweisen dass es für alle Folgeglieder gilt:


Induktionsschritt:
Zu Beweisen:
1+3+5+...+(2n-1)=n²

Dann muss das ja auch für alle Folgeglieder gelten:

1+3+5+...+(2n-1)+(2(n+1)-1)=(n+1)²

So, und ab da an weiß ich nicht, was ich damit dann machen soll.
Wie geht dass denn jetzt weiter?

[Phoenow]

ok, IBeh ist ja: 1+3+5+...+(2n-1)+(2(n+1)-1)=(n+1)²

Gehen wir also von folgendenm Term aus:

1+3+5+...+(2n-1)+(2(n+1)-1)

Das ist laut Induktionsvorraussetzung (1+3+5+...+(2n-1)=n²):

=n²+(2(n+1)-1)
=n²+2n+1

Das ist laut binomischer Formel:

=(n+1)²

q.e.d.

[mattberg]

Ok, danke für die Antwort, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann wird aus 1+3+5+...+(2n-1) n² ?

Und dann wird n²+(2(n+1)-1) solange umgeformt, bis es (n-1)² wird?


P.s: Aus gegebenen Anlass, kenn jemand einen online-Formeleditor, wo man z.B. sqrt(12) eingibt, und dann 12 mit einem Wurzelzeichen darüber als Grafik ausgegeben wird, so wie bei wikipedia?

[blueflash]

Wenn Du Formeln rendern willst, nimm LaTeX, oder den Formeleditor deines Vertrauens (z.B. openoffice.org).

[bozano]

(Sigma hatten wir noch nix, kann damit also leider nix anfangen)

Sigma bedeutet "Summe" für die dahinter stehende Formel.
Da man aber auch wissen will, von welcher Zahl bis zu welcher Zahl man summieren will, schreibt man unter Sigma bei welcher Zahl man anfängt und über Sigma, bei welcher Zahl man aufhört.

Nun kannst du den Artikel bei Wikipedia durchlesen. Da wird auch dein Beispiel behandelt

[Phoenow]

Ok, danke für die Antwort, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann wird aus 1+3+5+...+(2n-1) n² ?

Ja, genau, das ist ja deine Induktionsvorrausetzung und die kannst du im Induktionsschritt als gegeben ansehen.

Und dann wird n²+(2(n+1)-1) solange umgeformt, bis es (n-1)² wird?

Jup.

[mattberg]

Hi,
ich wollt mich nochmal bedanken, hab heute Mathe geschrieben, und es kam auch die vollständige Induktion dran, und ich hatte keine Probleme
Allerdings habe ich das gleichgesetzt und umgeformt bis 0 = 0 herauskam

[Phoenow]

hmm.. ja gleichsetzen und Induktionsbehauptung umformen ist immer problematisch, da es ja zunächstmal nur ne Behauptung ist und man aus ner falschen Aussage prinzipiell alles folgern kann. Aber hey wenn's dein Mathelehrer akzeptiert