Alles ist relativ: ART & SRT

[irony]

weil für v=0 dann E = mc² übrig bleiben würde.

Ich betrachte ja nur die kinetische Energie alleine, nicht die Summe der kinetischen und Ruheenergie.

Ich denke wir haben hier aneinander vorbei geredet.

In

hingegen kommt natürlich richtigerweise für v=0 Ekin=0 heraus.

Aber ich verstehe immer noch nicht, warum man nicht einfach die dynamische Masse der SRT in die newtonsche Formel für die kinetische Energie einsetzen kann, um die geschwindigkeitsabhängige kinetische Energie für v->c zu berechnen.

Die Frage ist halt, warum das nicht geht.

Der Fehler wird ja für v->c eh unendlich klein, d.h. je näher man der Lichtgeschwindigkeit kommt, desto mehr stimmen die Werte beider Formeln überein.

Richtig, der Fehler wird klein. Im Prinzip musst du nur mal die Funktionen

f(v) = 1/2*v^2 /(sqrt(1-v^2)) und g(v) = 1/(sqrt(1-v^2)) - 1

zusammen plotten, dann siehst du den Unterschied.

f(v) ist deine Formel für Ekin (ohne m, c usw.) und
g(v) die richtige relativistische Formel

Dann siehst du, dass deine Formel im mittleren Bereich etwas zu niedrige Werte liefert.
Aber das Grenzverhalten für v -> 0 und v -> c wird durch deine Formel richtig beschrieben.


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
irony schrieb nach 8 Minuten und 55 Sekunden:

Wir können uns darauf einigen. Dieser Begriff impliziert mMn aber, dass es noch eine andere Masse geben könnte, nämlich die dynamische Masse.

Die gibt es ja auch. Zumindest den Begriff dynamische Masse gibt es.
Nur, wenn du immer Ruhemasse schreibst, wenn du Ruhemasse meinst, ist es unmissverständlich, was du meinst.

Wenn du aber einfach nur Masse schreibst, werden andere User vielleicht nicht genau wissen, was du meinst, da sie möglicherweise eben nicht Agent_Scullie_fiziert sind.

[Halman]

Wenn du aber einfach nur Masse schreibst, werden andere User vielleicht nicht genau wissen, was du meinst, da sie möglicherweise eben nicht Agent_Scullie_fiziert sind.

[Agent Scullie]

McWires Formel mag zwar an sich nicht die richtige Formel für die kinetische Energie sein, aber der Grenzwert v -> c ist unendlich, und nicht das, was du behauptest.

aha. Und was genau stimmt deiner Ansicht nach an meiner Behauptung nicht? Dass die kinetische Energie für v -> c gegen unendlich geht, kann es ja nicht sein, da dies wie erläutert nicht im Widerspruch zu meiner Behauptung steht.


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EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Agent Scullie schrieb nach 10 Minuten und 39 Sekunden:

weil für v=0 dann E = mc² übrig bleiben würde.

und warum soll deswegen ein Teilchen nicht die kinetische Energie 0 haben können? Es gilt

Ekin = E - E0 = E - mc^2

Für E = mc^2 macht das Ekin = 0.

Aber ich verstehe immer noch nicht, warum man nicht einfach die dynamische Masse der SRT in die newtonsche Formel für die kinetische Energie einsetzen kann, um die geschwindigkeitsabhängige kinetische Energie für v->c zu berechnen.

Die Frage ist halt, warum das nicht geht.

weil die relativistische Mechanik halt eine andere Formel für die kinetische Energie liefert. Wie Prof. Norbert Dragon von der Uni Hannover es einmal ausdrückte: es ist nicht Aufgabe der SRT, Größen zu liefern, die in die Newtonschen Formeln einzusetzen sind.

Der Fehler wird ja für v->c eh unendlich klein, d.h. je näher man der Lichtgeschwindigkeit kommt, desto mehr stimmen die Werte beider Formeln überein.

sicher nicht, er wird eher unendlich groß. Deine Formel liefert:

Ekin(McWire) = 1/2 m0 v^2 / sqrt(1 - v^2/c^2)

Die SRT-Formel dagegen

Ekin(SRT) = m0 c^2 / sqrt(1 - v^2/c^2) - m0 c^2

Im Grenzfall v -> c gilt

Ekin(McWire) -> 1/2 m0 c^2 / sqrt(1 - v^2/c^2)

Ekin (SRT) -> m0 c^2 / sqrt(1 - v^2/c^2)

Die beiden Ergebnisse unterscheiden sich also um

Ekin(SRT) - Ekin(McWire) = 1/2 m0 c^2 / sqrt(1 - v^2/c^2)

was für v -> c gegen unendlich geht. Die Werte stimmen also nicht umso besser, sondern umso schlechter überein, je näher man c kommt.

[irony]

aha. Und was genau stimmt deiner Ansicht nach an meiner Behauptung nicht? Dass die kinetische Energie für v -> c gegen unendlich geht, kann es ja nicht sein, da dies wie erläutert nicht im Widerspruch zu meiner Behauptung steht.


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EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Agent Scullie schrieb nach 10 Minuten und 39 Sekunden:

und warum soll deswegen ein Teilchen nicht die kinetische Energie 0 haben können? Es gilt

Ekin = E - E0 = E - mc^2

Für E = mc^2 macht das Ekin = 0.

weil die relativistische Mechanik halt eine andere Formel für die kinetische Energie liefert. Wie Prof. Norbert Dragon von der Uni Hannover es einmal ausdrückte: es ist nicht Aufgabe der SRT, Größen zu liefern, die in die Newtonschen Formeln einzusetzen sind.

sicher nicht, er wird eher unendlich groß. Deine Formel liefert:

Ekin(McWire) = 1/2 m0 v^2 / sqrt(1 - v^2/c^2)

Die SRT-Formel dagegen

Ekin(SRT) = m0 c^2 / sqrt(1 - v^2/c^2) - m0 c^2

Im Grenzfall v -> c gilt

Ekin(McWire) -> 1/2 m0 c^2 / sqrt(1 - v^2/c^2)

Willst du ernsthaft behaupten, der Ausdruck

Ekin(McWire) -> 1/2 m0 c^2 / sqrt(1 - v^2/c^2)

wäre der Grenzwert für v -> c ?

Für v -> c geht Ekin(McWire) gegen unendlich. Du kannst doch nicht nur im Zähler v gegen c gehen lassen und im Nenner nicht.

Der Ausdruck sqrt(1 - v^2/c^2) geht für v -> c gegen 0, und da er im Nenner steht, geht der Bruch m0 v^2 / sqrt(1 - v^2/c^2) gegen unendlich.

Die Werte stimmen also nicht umso besser, sondern umso schlechter überein, je näher man c kommt.

Dann plotte doch einfach mal die beiden Funktionen und schau es dir an. Ich selbst habe es mal gemacht. Die rosa Kurve ist McWires Funktion, die schwarze Kurve die klassische Parabel und grün ist die richtige relativistische Funktion.

[Agent Scullie]

Richtig, der Fehler wird klein. Im Prinzip musst du nur mal die Funktionen

f(v) = 1/2*v^2 /(sqrt(1-v^2)) und g(v) = 1/(sqrt(1-v^2)) - 1

zusammen plotten, dann siehst du den Unterschied.

vor allem sieht er dann, dass der Fehler eben nicht klein wird, sondern im Gegenteil, immer größer.

f(v) ist deine Formel für Ekin (ohne m, c usw.) und
g(v) die richtige relativistische Formel

Dann siehst du, dass deine Formel im mittleren Bereich etwas zu niedrige Werte liefert.
Aber das Grenzverhalten für v -> 0 und v -> c wird durch deine Formel richtig beschrieben.

du hättest vielleicht selbst erst einmal plotten sollen, bevor du solche Behauptungen aufstellst.
Machen wir mal eine Wertetabelle (ein Plot ist ja im Grunde nichts anderes):

v = 0,9: f(v) = 0,929, g(v) = 1,294

v = 0,99: f(v) = 3,473, g(v) = 6,088

v = 0,999: f(v) = 11,16, g(v) = 21,36

v = 0,9999: f(v) = 35,34, g(v) = 69,71

v = 0,99999: f(v) = 111,8, g(v) = 222,6

Das sieht für mich nicht gerade danach aus, dass da für v -> c das gleiche Ergebnis herauskommt. Eher scheint g(v)/f(v) gegen 2 zu gehen. Aber vielleicht findest du ja noch Werte für v, wo die sich wieder annähern


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EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Agent Scullie schrieb nach 6 Minuten und 27 Sekunden:

Willst du ernsthaft behaupten, der Ausdruck

Ekin(McWire) -> 1/2 m0 c^2 / sqrt(1 - v^2/c^2)

wäre der Grenzwert für v -> c ?

du hast es erfasst.

Für v -> c geht Ekin(McWire) gegen unendlich.

das ist kein Widerspruch, da Ekin(SRT) ebenfalls gegen unendlich geht. Es wird dadurch also nicht ausgeschlossen, dass Ekin(SRT)/Ekin(McWire) im Grenzfall v -> c gegen 2 geht.

Du kannst doch nicht nur im Zähler v gegen c gehen lassen und im Nenner nicht.

tue ich ja auch nicht.

Edit: da du offenbar mit meiner Grenzwertbetrachtung Schwierigkeiten hast, machen wir was anderes, wir betrachten den Grenzwert von Ekin(SRT)/Ekin(McWire): zunächst können wir in

Ekin(SRT) = m0 c^2 / sqrt(1 - v^2/c^2) - 1

die 1 eliminieren, da für v -> c der linke Term >> 1 wird. Es gilt also

Ekin(SRT)/Ekin(McWire) -> [m0 c^2 / sqrt(1 - v^2/c^2)] / [1/2 m0 v^2 / sqrt(1- v^2/c^2)]

Da der Faktor 1/sqrt(1 - v^2/c^2) sowohl im Zähler als auch im Nenner auftaucht, können wir ihn eliminieren:

Ekin(SRT)/Ekin(McWire) -> m0 c^2 / (1/2 m0 v^2) = 2 m0 c^2 / (m0 v^2)

Im Grenzfall v -> c wird der Unterschied zwischen v und c sehr klein, so dass v ~ c:

Ekin(SRT)/Ekin(McWire) -> 2 m0 c^2 / (m0 c^2) = 2

Ekin(SRT) ist also bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit doppelt so groß wie Ekin(McWire). Jetzt klarer?

Der Ausdruck sqrt(1 - v^2/c^2) geht für v -> c gegen 0, und er im Nenner steht, geht der Bruch gegen unendlich.

ich weiß nicht, was ich noch tun soll, um dir begreiflich zu machen, dass das kein Widerspruch ist. Wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) für x -> x0 gegen unendlich gehen, dann schließt das nicht aus, dass f(x)/g(x) für x -> x0 gegen einen endlichen Wert geht.

Dann plotte doch einfach mal die beiden Funktionen und schau es dir an.

das hättest du vielleicht mal tun sollen. Derweil kannst du dir ja mal meine Wertetabelle ansehen.

[irony]

Das sieht für mich nicht gerade danach aus, dass da für v -> c das gleiche Ergebnis herauskommt. Eher scheint g(v)/f(v) gegen 2 zu gehen.

Genau, beide Funktionen gehen gegen unendlich und die das Verhältnis geht gegen 2. D.h. McWires Funktion liefert zu niedrige Werte, und im schlechtesten Fall ist der prozentuale Fehler |f(v)-g(v)|/g(v) = 50%.

[Agent Scullie]

Genau, beide Funktionen gehen gegen unendlich und die das Verhältnis geht gegen 2.

genau das sagte ich, ja.


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Agent Scullie schrieb nach 16 Minuten und 19 Sekunden:

Dann plotte doch einfach mal die beiden Funktionen und schau es dir an. Ich selbst habe es mal gemacht. Die rosa Kurve ist McWires Funktion, die schwarze Kurve die klassische Parabel und grün ist die richtige relativistische Funktion.

und wenn du dir deinen Plot mal aufmerksam ansiehst, wirst du feststellen, dass sich die rosane und grüne Kurve für v->c nicht aneinander anschmiegen.

[irony]

und wenn du dir deinen Plot mal aufmerksam ansiehst, wirst du feststellen, dass sich die rosane und grüne Kurve für v->c nicht aneinander anschmiegen.

Gerade solche Plots mit Computerprogrammen suggerieren, dass sich praktisch alle Plot-Kurven, die an der Stelle v=c gegen unendlich gehen, aneinander anschmiegen.

Vergleiche doch mal die Kurven f_n(x) = n / (1-x), n = 1,2,3, usw. nahe bei x = 1 bzw. lass dir die Funktionen mal auf dem Bildschirm für den Bereich [-100, + 100] anzeigen.

Da täuscht einfach die Darstellung. Wenn man wirklich unterschiedliche Kurvenverläufe sehen will, muss man immer wieder reinzoomen. Deswegen rechnet man ja auch, und zeichnet nicht nur, wenn man es genau wissen will.

Z.B. sieht man dann auch, dass die Differenz f_2(x) - f_1(x) = 2/(1-x) - 1/(1-x) = 1/(1-x) ist und natürlich für x -> 1 immer größer wird.

Warum es mir aber ging, war, dass McWires Funktion streng monoton wachsend gegen unendlich geht, so wie die tatsächliche Energiefunktion auch, d.h. der Verlauf wird qualitativ richtig beschrieben und liefert stets zu niedrige Werte.

Warum McWire diese Formel verwendet weiß ich nicht, aber ich bin mal gespannt, wie die Frage, warum man in der Formel Ekin = mv2/2 nicht einfach die relativistische Masse einsetzen kann, beantwortet wird.

Auf diese Idee kann man ja kommen.

[Agent Scullie]

aber ich bin mal gespannt, wie die Frage, warum man in der Formel Ekin = mv2/2 nicht einfach die relativistische Masse einsetzen kann, beantwortet wird.

hier nochmal für dich aus Posting #63:

weil die relativistische Mechanik halt eine andere Formel für die kinetische Energie liefert. Wie Prof. Norbert Dragon von der Uni Hannover es einmal ausdrückte: es ist nicht Aufgabe der SRT, Größen zu liefern, die in die Newtonschen Formeln einzusetzen sind.

[irony]

hier nochmal für dich aus Posting #63:

Damit bin ich aber nicht zufrieden
Und McWire vermutlich auch nicht.

Ich habe noch mal nachgeschaut, wie in dieser ganzen Diskussion das Problem überhaupt aufkam, und in der Tat hat McWire geschrieben, der Fehler würde für v -> c unendlich klein, was er wie gesehen nicht wird, aber er geht gegen den überschaubaren Wert von 50%, d.h. die Größenordnung der Werte ist immer dieselbe, z.B. MeV oder GeV für ein beschleunigtes Elektron.

D.h. die McWire-Formel liefert eine gute Abschätzung der Größenordnung, aber dass die Leute am CERN es genauer wissen wollen, ist klar.

Ich selbst hatte dies so kommentiert:

Dann siehst du, dass deine Formel im mittleren Bereich etwas zu niedrige Werte liefert.
Aber das Grenzverhalten für v -> 0 und v -> c wird durch deine Formel richtig beschrieben.

Etwas ausführlicher, was ich meinte war:
1) Im mittleren Bereich von v liegt die McWire-Kurve nur etwas zu niedrig, ist also noch eine gute Näherung, während die klassische Kurve schon schlecht wird.
2) Im Bereich hoher Geschwindigkeiten v -> c ist die McWire-Näherung nicht mehr so gut, aber sie zeigt immerhin noch - ganz im Gegensatz zur klassischen Kurve - das richtige Grenzverhalten (die Werte gehen gegen unendlich).
3) Im Bereich v -> 0 kommt die klassische Formel heraus, da stimmen alle drei Kurven ziemlich gut überein.

Insofern finde ich den Ansatz von McWire recht interessant. Die McWire-Formel ist besser als der klassische Ausdruck für die kinetische Energie, hat aber einen systematischen Fehler, den ich auch gerne verstehen möchte. Halman und McWire sicher auch

[Agent Scullie]

Damit bin ich aber nicht zufrieden

dass McWire's Formel zu anderen Ergebnissen führt als die relativistische Formel, hast du ja selbst schon festgestellt. Was willst du noch? Eine Herleitung der relativistischen Formel?

Ich habe noch mal nachgeschaut, wie in dieser ganzen Diskussion das Problem überhaupt aufkam, und in der Tat hat McWire geschrieben, der Fehler würde für v -> c unendlich klein, was er wie gesehen nicht wird, aber er geht gegen den überschaubaren Wert von 50%, d.h. die Größenordnung der Werte ist immer dieselbe, z.B. MeV oder GeV für ein beschleunigtes Elektron.

kurz gesagt: ich hatte recht

D.h. die McWire-Formel liefert eine gute Abschätzung der Größenordnung, aber dass die Leute am CERN es genauer wissen wollen,

ich denke mal, das sind nicht die einzigen, die es genau wissen wollen.

[irony]

dass McWire's Formel zu anderen Ergebnissen führt als die relativistische Formel, hast du ja selbst schon festgestellt. Was willst du noch? Eine Herleitung der relativistischen Formel?

Ja, warum nicht?

Die McWire-Formel liegt zwischen der klassischen und der relativistischen Formel für die kinetische Energie, und es geht darum, physikalisch zu verstehen, woher die Abweichungen der McWire-Formel rühren, d.h. worin das Problem bei der Modellbildung nach McWires Ansatz liegt.

Einfach nur zu sagen, McWires Formel ist nicht die richtige, ist mir zu einfach. McWire hat eine sehr gute Frage gestellt und verdient auch eine sehr gute Antwort.

[Agent Scullie]

Ja, warum nicht?

eine einfache Herleitung kann z.B. so aussehen:

Energie und Impuls bilden einen Impuls-Vierervektor (E, p_x, p_y, p_z). Es sei c=1 gesetzt, damit's nicht zu unübersichtlich wird. Bewege sich ein Körper in x-Richtung, so fallen die y- und z-Komponenten weg, so dass der Vektor die Gestalt (E, p, 0, 0) annimmt. Die Masse m des Körpers entspricht der Länge des Vektors, daher gilt:

m^2 = E^2 - (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) = E^2 - p^2 (1)

Der Körper hat einen Geschwindigkeits-Vierervektor, dessen Komponenten denen des Impuls-Vierervektors, geteilt durch m entsprechen:

(E/m, p/m, 0, 0)

Der Geschwindigkeits-Dreiervektor

(v_x, v_y, v_z) = (v, 0, 0)

wird durch die Verhältnisse der drei räumlichen Komponenten zur zeitlichen Komponente gebildet:

(v, 0, 0) = ((p/m) / (E/m), 0, 0) = (p/E, 0, 0)

Für die Geschwindigkeit v gilt also v = p/E, und entsprechend p = E*v. Setzt man das in (1) ein, so erhält man

m^2 = E^2 - E^2 v^2 = E^2 (1 - v^2)

Nach E^2 umstellen:

E^2 = m^2 / (1-v^2)

Wurzelziehen:

E = m / sqrt(1-v^2)

Das ist die Gesamtenergie. Die kinetische Energie ergibt sich dann aus der Differenz zwischen dieser Gesamtenergie und der Gesamtenergie bei v = 0:

Ekin = m / sqrt(1-v^2) - m

Für weitere Details verweise ich auf die Fachliteratur.

[McWire]

eine einfache Herleitung kann z.B. so aussehen:

Energie und Impuls bilden einen Impuls-Vierervektor (E, p_x, p_y, p_z). Es sei c=1 gesetzt, damit's nicht zu unübersichtlich wird. Bewege sich ein Körper in x-Richtung, so fallen die y- und z-Komponenten weg, so dass der Vektor die Gestalt (E, p, 0, 0) annimmt. Die Masse m des Körpers entspricht der Länge des Vektors, daher gilt:

m^2 = E^2 - (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) = E^2 - p^2 (1)

Der Körper hat einen Geschwindigkeits-Vierervektor, dessen Komponenten denen des Impuls-Vierervektors, geteilt durch m entsprechen:

(E/m, p/m, 0, 0)

Der Geschwindigkeits-Dreiervektor

(v_x, v_y, v_z) = (v, 0, 0)

wird durch die Verhältnisse der drei räumlichen Komponenten zur zeitlichen Komponente gebildet:

(v, 0, 0) = ((p/m) / (E/m), 0, 0) = (p/E, 0, 0)

Für die Geschwindigkeit v gilt also v = p/E, und entsprechend p = E*v. Setzt man das in (1) ein, so erhält man

m^2 = E^2 - E^2 v^2 = E^2 (1 - v^2)

Nach E^2 umstellen:

E^2 = m^2 / (1-v^2)

Wurzelziehen:

E = m / sqrt(1-v^2)

Das ist die Gesamtenergie. Die kinetische Energie ergibt sich dann aus der Differenz zwischen dieser Gesamtenergie und der Gesamtenergie bei v = 0:

Ekin = m / sqrt(1-v^2) - m

Für weitere Details verweise ich auf die Fachliteratur.

Danke!

Das beantwortet die Frage, wie man zu der relativistischen Energieformel kommt, aber nicht, woher der Fehler in der newtonschen Formel herrührt.

Woher kommt im Grenzfall der Faktor 1/2?

Wenn ich die relativistische Formel Ekin = mc²*Gamma-mc² für v<<c benutze, kommt ja nicht 1/2 mv² dabei heraus, sondern die kinetische Energie geht einfach nur gegen 0. Das c und das m in der Formel sind ja Konstanten.

Ansonsten stimmt meine Aussage, dass der Fehler beider Formel bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit praktisch gesehen unendlich klein wird.
Wenn "meine Formel" 0,5x und die "Scullie-Formel" x liefert, so ist der Fehler bei maximal 50%, was im Verhältnis zu den Absolutwerten von x unendlich gering ist. Wenn also die relativistische Formel beispielsweise 2*10⁵⁰ liefert, die newtonsche Formel aber nur 1*10⁵⁰, so stimmt ja die Größenordnung. Bei solchen Werten ist ein Fehler von Faktor 2 auf die Gesamtbilanz vernachlässigbar.

[Agent Scullie]

Danke!

Das beantwortet die Frage, wie man zu der relativistischen Energieformel kommt, aber nicht, woher der Fehler in der newtonschen Formel herrührt.

Woher kommt im Grenzfall der Faktor 1/2?

Wenn ich die relativistische Formel Ekin = mc²*Gamma-mc² für v<<c benutze, kommt ja nicht 1/2 mv² dabei heraus, sondern die kinetische Energie geht einfach nur gegen 0. Das c und das m in der Formel sind ja Konstanten.

also lautet deine Frage nicht, woher der Fehler in der newtonschen Formel kommt (das ist ja durch Angabe der relativistischen Formel beantwortet!), sondern wie man im nichtrelativistischen Grenzfall von der relativistischen Formel auf die Newtonsche Formel kommt.

Das c und m sind zwar Konstanten, gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2) hängt jedoch von v ab, gamma = gamma(v). Man macht jetzt folgendes: man macht für die Funktion

E(v) = m c^2 gamma(v)

eine sog. Taylor-Entwicklung um den Punkt v = 0. Es gilt:

E(v) = E(0) + v E'(0) + 1/2 v^2 E''(0) + 1/3! v^3 E'''(0) + ...

Für kleine v << c reicht es, die Entwicklung nur bis zur 2. Ordnung zu machen:

E(v) ~ E(0) + v E'(0) + 1/2 v^2 E''(0)

Es wird also die erste beiden Ableitungen E'(v) und E''(v) benötigt. Diese sind:

E'(v) = m v / sqrt(1 - v^2/c^2)^3

E''(v) = 3 m (v^2/c^2) / sqrt(1 - v^2/c^2)^5 + m / sqrt(1 - v^2/c^2)^3

E'(0) ist null, ebenso verschwindet in E''(0) der erste Term, und im zweiten ist die Wurzel 1, so dass nur m übrigbleibt. Es gilt somit

E(v) ~ E(0) + 1/2 v^2 E''(0) = mc^2 + 1/2 v^2 m

Folglich ist die kinetische Energie

Ekin(v) = E(v) - E(0) = 1/2 m v^2

Ansonsten stimmt meine Aussage, dass der Fehler beider Formel bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit praktisch gesehen unendlich klein wird.
Wenn "meine Formel" 0,5x und die "Scullie-Formel" x liefert, so ist der Fehler bei maximal 50%, was im Verhältnis zu den Absolutwerten von x unendlich gering ist.

50% sind im Verhältnis zu den Absolutwerten 50%, das ist schon etwas mehr als "unendlich gering".

Wenn also die relativistische Formel beispielsweise 2*10⁵⁰ liefert, die newtonsche Formel aber nur 1*10⁵⁰, so stimmt ja die Größenordnung.

die Übereinstimmung in der Größenordnung ist aber etwas anderes als eine Abweichung von "unendlich gering".

Bei solchen Werten ist ein Fehler von Faktor 2 auf die Gesamtbilanz vernachlässigbar.

du hast ein merkwürdiges Verständnis von Vernachlässigbarkeit.