Punktrechnung vor Strichrechnung - Warum ?

[Galactus]

Falls es einen ähnlichen Thread schon gibt, bitte ich um Entschuldigung. Per Suchfunktion habe ich keinen gefunden.


Die Regel Punktrechnung vor Strichrechnung (nachfolgend PvS abgekürzt) ist ja jedem bekannt und wird im Alltag quasi automatisch angewendet. In meinem Alltag muß ich das nicht so oft tun, aber auf Facebook begegneten mir in der Vergangenheit öfter diese Spiele mit Rechenaufgaben, die in etwa so lauten:

Only For Genius !

40 + 6 : 2 - 5 x 7 = ?

Es ist nicht selten, daß einige dabei zu einem falschen Ergebnis kommen, weil sie die PvS Regel nicht beachtet, sondern einfach von Links nach Rechts gerechnet haben. Auch ich habe diese Regel irgendwann einmal in der Schule gelernt und nicht vergessen. Lange Zeit habe ich sie auch nicht hinterfragt. Vor kurzem habe ich mir aber die Frage gestellt, warum diese Regel überhaupt existiert und woher sie sich logisch ableitet. Erste Adresse war gewohnheitsmäßig Wikipedia, wo ich erstaunt feststellen mußte, daß es sich bei der PvS Regel um eine Konvention handelt. Also eine reine Einigung darauf, daß man in der Reihenfolge der Rechenoperationen Multiplikation bzw. Division den Vorrang gibt und Addition bzw. Subtraktion danach auszuführen hat. Eine Erklärung auf welche logische Notwendigkeit sich diese Entscheidung stützt bleibt die entsprechende Wikipedia-Seite jedoch schuldig.

https://de.wikipedia.org/wiki/Punktr...Strichrechnung

Auch an anderer Stelle habe ich ein Video mit einer Aussage gefunden, die ich sehr merkwürdig fand.

http://www.sofatutor.com/mathematik/...el-basiswissen

...Warum ist das so ? Das ist so ähnlich wie mit dem Essen mit Messer und Gabel. Das hat sich so durchgesetzt. Das hätte man im Prinzip auch anders machen können, es ist aber ganz sinvoll, daß man es jetzt so macht.
Mit dieser Regelung (PvS) ist es genauso. Mathematisch zwingend ist sie nicht, aber sie hat sich so durchgesetzt, also machen wir es so.

(Klammer und Hervorhebung von mir)

Ich habe zwar nichts dagegen, daß es eigentlich egal ist, ob ich ein Schnitzel mit Messer und Gabel oder mit den Händen esse. Das Ergebnis ist ja gleich, nämlich, daß ich ein Schnitzel gegessen habe.
Ob man beim Rechnen ohne Klammern aber die PvS Regel anwendet oder nicht führt allerdings zu verschiedenen Ergebnissen. Das muß mir nicht egal sein. Wenn man sich nur darauf geeinigt hat, daß man so rechnet, dann könnten die Ergebnisse der anderen Variante ja genauso richtig sein und läßt die Regel an sich willkürlich wirken.
Ich finde es ziemlich unlogisch, daß eine mathematische Regel auf einer Konvention beruht, die sich selbst scheinbar auf nichts stützt. Ich möchte nicht glauben, daß das keinerlei logischen Hintergrund haben soll, finde aber nirgendwo ein Argument für die logische Notwendigkeit der PvS Regel. Sollte es dieses tatsächlich geben, wäre es allerdings ebenso unsinnig hier von einer Konvention zu sprechen.

Ich habe daher zum Thema folgende konkrete Fragen:

1. Aus welcher mathematisch, logischen Notwendigkeit heraus leitet sie sich die Rechenregel "Punkt vor Strich" ab ?

2. Könnte man aus dieser Notwendigkeit auch das Gegenteil (also eine SvP Regel) ableiten ?

3. Wie lange existiert die Regel "Punktrechnung vor Strichrechnung" schon und wer hat sie aufgestellt ?


LG, Galactus

[Gast]

Erste Adresse war gewohnheitsmäßig Wikipedia, wo ich erstaunt feststellen mußte, daß es sich bei der PvS Regel um eine Konvention handelt. Also eine reine Einigung darauf, daß man in der Reihenfolge der Rechenoperationen Multiplikation bzw. Division den Vorrang gibt und Addition bzw. Subtraktion danach auszuführen hat. Eine Erklärung auf welche logische Notwendigkeit sich diese Entscheidung stützt bleibt die entsprechende Wikipedia-Seite jedoch schuldig.

Konventionen muss man ja auch nicht begründen. Die Aussage "1+1=2" ist ein Axiom und damit auch nicht begründbar.

Und sagen wir es mal so: Es GIBT mathematische Schreibweisen die ohne die PvS-Regel auskommen.
Die "polnische Notation" ist so ein Beispiel.

Aber bei Rechenaufgaben wie 1+2 * 3+4 muss ich halt irgendeine Reihenfolge entwickeln.

Entweder von links oder von rechts - aber dann würde ein Kommutationsgesetz eventuell nicht gelten.

Dann kann ich es noch an den Operatoren fest machen - also an "+" und "*" im Beispiel. Da in den natürlichen Zahlen 2 * 3 ja gleichbedeutend mit 2 + 2 + 2 ist, könnte man sich auf den Standpunkt(!) stellen, generell zu erst die "verkürzenden Schreibweisen" zu rechnen -> und dann wäre ich schon bei PvS.

Trotzdem ist es erstmal eine Konvention - und die wird schon uralt sein. Der Satz des Pythagoras ist ja a²+b²=c², oder auch a*a+b*b=c*c. Das stimmt natürlich nur bei PvS (in der polnischen Notation würde man das natürlich anders schreiben)

[Barry L.]

1. Aus welcher mathematisch, logischen Notwendigkeit heraus leitet sie sich die Rechenregel "Punkt vor Strich" ab ?

2. Könnte man aus dieser Notwendigkeit auch das Gegenteil (also eine SvP Regel) ableiten ?

3. Wie lange existiert die Regel "Punktrechnung vor Strichrechnung" schon und wer hat sie aufgestellt ?

Es gibt tatsächlich keine mathematische Notwendigkeit für die PvS Regel und ist damit tatsächlich nur eine Konvention und keine Ableitung aus den Axiomen oder anderen Definitionen. Man erspart sich einfach nur Schreibarbeit, das ist die "Logik" hinter dieser Regel. Mit der PvS Regel fallen nämlich Klammern weg

a+b*c = a+(b*c).

Was hier noch nach einer Bequemlichkeit aussieht, trägt bei längeren mathematischen Ausdrücken deutlich zur Lesbarkeit bei.

Man könnte das ganze auch genau anders herum definieren, dann müsste man aber um bei gleicher Schreibweise die Klammern setzen

PvS: 1 + 2*3 = 1+(2*3) = 7
SvP: 1 + 2*3 = (1+2)*3 = 9

Die Regelung wurde wahrcheinlich schon

Entweder von links oder von rechts - aber dann würde ein Kommutationsgesetz eventuell nicht gelten.

Das gilt nachwievor, da Kommutativität durch die Axiome gefordert wird. Eine Konvention darf das nicht beeinträchtigen. Die Kommutativität sieht dann nur etwas ungewohnter aus

1+2*3+4 = 3+4*1+2 = 4+3*2+1 = ...

[pollux83]

Ich würde sagen es ist wie folgt.
Die Multiplikation ist eine Vereinfachung der Addition. Statt 2+2+2+2+2+3 kann ich auch (2*5)+3 schreiben.
Wenn also 2+2+2+2+2+3 = 2*5+3 gelten soll, dann brauche ich Punkt vor Strich. Auf diese Art kann man die Klammern bei der Multiplikation weglassen.

[Tibo]

Das ergibt sich aus dem Alltag. Also du hast eine Tasche voller Münzen. Du hast 23 1 Euro Münzen, 324 50 cent Münzen, 5463 2 Euro Münzen und 12 1 cent Münzen. Du willst jetzt wissen wieviel Euro du hast. Bei Punkt vor Strich kannst du 23*1+ 324*0,5+5463*2+12*0,01 schreiben ausrechnen und Euro dranhängen. Strich vor Punkt würde keinen Sinn ergeben (im Gegensatz dazu gibt es keine Beispiele, bei denen Punkt vor Strich derart unsinnig wäre, man addiert halt öfter mal verschiedene Anzahlen von Dingen mit verschiedenen und gleichen Werten) würde man einfach von rechts nach links, oder links nach rechts rechnen bräuchte man zig Klammern. Zudem müsste man Bruchzahlen und Potenzen in Klammern setzen und Rechnen mit Platzhaltern würde viel mehr Klammern erfordern.
Aus 2adf + 5gdf - 3bca + 7fds
würde
(2 * (a * d * f)) + (5 * (g * d * f)) - (3 * (b * c * a)) + (7 * (f * d * s))

[Galactus]

Das ergibt sich aus dem Alltag. Also du hast eine Tasche voller Münzen. Du hast 23 1 Euro Münzen, 324 50 cent Münzen, 5463 2 Euro Münzen und 12 1 cent Münzen. Du willst jetzt wissen wieviel Euro du hast. Bei Punkt vor Strich kannst du 23*1+ 324*0,5+5463*2+12*0,01 schreiben ausrechnen und Euro dranhängen. Strich vor Punkt würde keinen Sinn ergeben...

Finde ich einleuchtend so. Aber warum spricht man dann von einer Konvention ?

Ich habe ja dementsprechende Zitate angeführt, wo behauptet wird, "man hätte sich auch auf eine andere Rangfolge einigen können" und die PvS Regel sei "mathematisch nicht zwingend".
Sagt mir im Umkehrschluß, daß etwa eine SvP Regel oder eine Links nach Rechts Regel als gleichrangig zu betrachten wären. Leuchtet mir aber wegen unterschiedlicher Ergebnisse nicht ein.
Ich finde das schon sehr verwirrend. Wikipedia z.B. macht da sogar widersprüchliche Aussagen. Dort steht in etwa, daß sich die Konvention PvS an der allgemeinen Operatorrangfolge orientiert, die widerum wohl keine Konvention sein soll. Selbst wenn es eine Konvention ist, wundert mich doch, daß man ihr den Vorrang zu anderen Definitionen gibt. Das müßte eigentlich einen plausiblen Grund haben.

Nicht falsch verstehen, ich will die PvS Regel nicht widerlegen. Ich finde nur die Konventionserklärung merkwürdig. Ich kenne auch Leute, die sie ablehnen.

[Gast]

Ich habe ja dementsprechende Zitate angeführt, wo behauptet wird, "man hätte sich auch auf eine andere Rangfolge einigen können" und die PvS Regel sei "mathematisch nicht zwingend".
Sagt mir im Umkehrschluß, daß etwa eine SvP Regel oder eine Links nach Rechts Regel als gleichrangig zu betrachten wären. Leuchtet mir aber wegen unterschiedlicher Ergebnisse nicht ein.

Und? Natürlich führen die Regeln zu unterschiedlichen Ergebnissen - deswegen sind sie auch nicht einfach "austauschbar". Aber deswegen können sie gleichrangig sein.

Wichtig ist doch nur, dass man sich (als Zivilisation) für eine Regel entscheidet!
PvS: 1+2*3 = 7
SvP: 1+2*3 = 9

WIchtig ist doch an der Stelle, dass jemand, der die Gleichung "1 + 2 * 3" sieht, weiß, welche Regel gilt, damit dieser jemand zu demselben Ergebnis kommt wie der, der sie hingeschrieben hat. Hätte man sich nicht auf einen Standard geeinigt, dann müsste man bei jeder Gleichung immer dazuschreiben, ob nun * oder + zuerst gerechnet werden müssen ...

Nochmal: Die Polnische Notation kommt ohne Operatorregelung der Form PvS/SvP aus, aber die ist halt (im Alltag) nicht üblich.

[Galactus]

Ich glaube nicht, daß "1 + 2 * 3" eine Gleichung ist.

Die PvS Regel soll ja zum Zweck einer vereinfachten und übersichtlicheren Darstellung von Operationsketten (ohne Klammern) eingeführt worden sein.
Klammern heben die PvS Regel auf und freie Definitionen bei der Klammersetzung sind erlaubt. Z.B.:

4 * (2+4) : 2 = 12

Wie will man das dann vereinfacht darstellen ?

4 * 2 + 4 : 2 = ? wäre dann ja der PvS Regel unterworfen und hätte auf einmal ein anderes Ergebnis. Nämlich 10.

Ist das nicht irgendwie gaga ?

[Tibo]

Ich glaube nicht, daß "1 + 2 * 3" eine Gleichung ist.

Die PvS Regel soll ja zum Zweck einer vereinfachten und übersichtlicheren Darstellung von Operationsketten (ohne Klammern) eingeführt worden sein.
Klammern heben die PvS Regel auf und freie Definitionen bei der Klammersetzung sind erlaubt. Z.B.:

4 * (2+4) : 2 = 12

Wie will man das dann vereinfacht darstellen ?

Mit nem Bruchstrich. die 2+4 im Zähler die 2 in den Nenner und dann kannst die erste vier außerhalb des Bruchs hinschreiben wo de magst.

[Tibo]

Finde ich einleuchtend so. Aber warum spricht man dann von einer Konvention ?

Ich habe ja dementsprechende Zitate angeführt, wo behauptet wird, "man hätte sich auch auf eine andere Rangfolge einigen können" und die PvS Regel sei "mathematisch nicht zwingend".
Sagt mir im Umkehrschluß, daß etwa eine SvP Regel oder eine Links nach Rechts Regel als gleichrangig zu betrachten wären. Leuchtet mir aber wegen unterschiedlicher Ergebnisse nicht ein.
Ich finde das schon sehr verwirrend. Wikipedia z.B. macht da sogar widersprüchliche Aussagen. Dort steht in etwa, daß sich die Konvention PvS an der allgemeinen Operatorrangfolge orientiert, die widerum wohl keine Konvention sein soll. Selbst wenn es eine Konvention ist, wundert mich doch, daß man ihr den Vorrang zu anderen Definitionen gibt. Das müßte eigentlich einen plausiblen Grund haben.

Das is ne Konvention, weil man sich drauf geeinigt, dass man so verfährt. Generell bedeutet Konvention ja nicht mehr. Konventionen dürfen ja sinnvoll sein. Aber dass ne Konvention was vereinfacht ist kein zwingender Grund sie anzuwenden.

[Galactus]

Mit nem Bruchstrich. die 2+4 im Zähler die 2 in den Nenner und dann kannst die erste vier außerhalb des Bruchs hinschreiben wo de magst.

Die 2+4 (oder gleich die Summe daraus) kann dann ohne Klammern da stehen und die PvS Regel kommt gar nicht zur Anwendung. Habe ich das richtig verstanden ?

[Galactus]

Das is ne Konvention, weil man sich drauf geeinigt, dass man so verfährt. Generell bedeutet Konvention ja nicht mehr. Konventionen dürfen ja sinnvoll sein. Aber dass ne Konvention was vereinfacht ist kein zwingender Grund sie anzuwenden.

Prinzipiell darf ich dann auch auf die PvS Regel verzichten, wenn ich der Meinung bin, daß ich keine vereinfachende Darstellung brauche, weil ich mit den Klammern gut klarkomme. Wenn jemand anderer Meinung ist, ist das dann sein Problem und er darf sich seine vereinfachende Darstellung getrost selber basteln.

Er sollte dabei aber schon beachten, daß er kein abweichendes Ergebnis dadurch fabriziert.

[Gast]

Klammern heben die PvS Regel auf und freie Definitionen bei der Klammersetzung sind erlaubt. Z.B.:

Klammern heben die PvS-Regel nicht auf, sie erweitert sie.

Bei "(3 + 5 * 2) * 6" gilt ja auch innerhalb der Klammer die PvS Regel, die Klammern sagen nur, dass du ERST die Klammern auswerten sollst.

Prinzipiell darf ich dann auch auf die PvS Regel verzichten, wenn ich der Meinung bin, daß ich keine vereinfachende Darstellung brauche, weil ich mit den Klammern gut klarkomme. Wenn jemand anderer Meinung ist, ist das dann sein Problem und er darf sich seine vereinfachende Darstellung getrost selber basteln.

Wenn du alles im Sinne der PvS klammerst, ja!

Ansonsten solltest du immer dazu schreiben, dass die PvS-Regel keine Anwendung findet.

[Galactus]

Klammern heben die PvS-Regel nicht auf, sie erweitert sie.

Gut, dann habe ich da beim Lesen was falsch interpretiert. Es war von einer Rangfolge: Klammer -> Punkt -> Strich die Rede. Danke für die Klarstellung.

[Galactus]

Wenn du alles im Sinne der PvS klammerst, ja!

? Ich dachte ich hätte beim Klammern die freie Definitionswahl. Und der Andere muß die Vereinfachung im Sinne der PvS auflösen.