vollkommene Quadrate

[Dunderdon]

Hi! Ich habe gerade dieses hochinteressante Wissenschaft & Technik Forum entdeckt und da ich gerade ine wissenschaftliche Frage habe, die geradezu darauf brennt, gestellt zu werden, schicke ich sie gleich einmal als Begrüßung voraus.

Mein Diskussionsanstoss ist aus der Wissenschaft der Mathematik, von der ich selbst bis vor kurzem dachte, sie sei langweilig, weil formal und somit vor wissenschaftlichen Umbrüchen gefeit. Aber nun zum Problem.

zur Erklärung: Ein vollkommenes Quadrat ist eine positive ganze Zahl, deren Wurzel eine postivie ganze Zahl ist.

1. Jede positive ganze Zahl hat ein vollkommenes Quadrat. n²=q

2. Jedes vollkommene Quadrat hat somit eine Wurzel, die eine positive ganze Zahl ist. q^(1/2)=n

3. Man kann somit 1:1 jeder positiven ganzen Zahl ein zugehöriges vollkommenes Quadrat zuweisen und umgekehrt.

4. Daraus folgt: Die Menge der positiven ganzen Zahlen ist gleich groß der Menge der vollkommenen Quadrate. A=Q

5. Es gibt aber positive ganze Zahlen, die keine vollkommene Quadrate sind.

6. Das Ganze (die postivien ganzen Zahlen) ist gleich groß wie ein Teil des Ganzen (die Menge der vollkommenen Quadrate), obwohl der andere Teil (die positiven ganzen Zahlen, die keine vollkommenen Quadrate sind) größer als Null ist.

Wie kann das sein?

[Skymarshal]

Also ich bin in Mathe ja überhaupt kein Ass aber was sind positive Zahlen mit unvollkommenen Quadraten?

3², 5²

anstatt 2² oder 4² ?


Weil die gleichwertig sind werden die auf 0 gesetzt oder was?

A=Q=0?


Verstehe echt nicht was das mit 0 soll. Sonst würde ich es symbolisch so aussehen lassen:

(-*+)++

Die Quadrate sind positiv die Wurzel negativ. In Klammern ist die 0 + die anderen unvollkommenen Zahlen.

Vergiss es. Sollen mal die Mathefreaks da ran.

[Spooky Mulder]

Habe zwar vorher noch nie was von vollkommenen Quadraten gehört, aber deine Erklärung klingt einleuchtend.

Tatsächlich finden sich in der Menge der natürlichen Zahlen gleich viele Quadrate wie natürliche Zahlen (zu jeder natürlichen ein Quadrat), da beide Mengen unendlich sind.

Hier mein Lösungsversuch für das Problem: Wurzeln sind nach der Definition kein Element der natürlichen, sondern der irrationalen Zahlen. Daher muss man hier in den Bereich der reelen Zahlen gehen, die sowohl die irrationalen als auch die rationalen (worunter die natürlichen fallen) Zahlen beinhaltet. Und dort finden sich zu jeder natürlichen Zahl genausoviele "vollkommene Quadrate", wie zu jeder irrationalen Zahl "unvollkommene Quadrate".

Ich lasse mich gerne eines besseren belehren, gerade um diese Uhrzeit.

[blueflash]

Na und?

Es gibt ja auch "genausoviele" natürliche wie reelle Zahlen.

Der Punkt ist, dass man bei unendlichen Mengen nicht von einer Größe redet, sondern von einer Mächtigkeit... Es gibt also nicht "mehr" oder "weniger" in dem Zusammenhang. (Obwohl man natürlich eine Ordnungsrelation auf unendliche Mengen über deren Mächtigkeit definieren könnte, aber genug davon)

[Skymarshal]

Also entweder habe ich die Fragestellung nicht verstanden oder ihr:

6. Das Ganze (die postivien ganzen Zahlen) ist gleich groß wie ein Teil des Ganzen (die Menge der vollkommenen Quadrate), obwohl der andere Teil (die positiven ganzen Zahlen, die keine vollkommenen Quadrate sind) größer als Null ist.

Wie kann das sein?

Ich verstehe das so das er die Frage auf Punkt 6 bezieht. Weil Punkt 6 eine Zusammenfassung ist. Oder eine Folgerung.

Warum ist der andere Teil der unvollkommenen Zahlen und Quadrate größer als 0?



Gute Nacht...

[Dunderdon]

Nun ja, es tut mir Leid, dass ich das Problem vielleicht nicht gut genug dargestellt habe, vor allem die 0 war sehr verwirrend.

Tatsächlich finden sich in der Menge der natürlichen Zahlen gleich viele Quadrate wie natürliche Zahlen (zu jeder natürlichen ein Quadrat), da beide Mengen unendlich sind.

Nicht weil beide Mengen unendlich sind, sondern weil es zu jedem Element der natürlichen Zahlen ein Element der vollkommenen Quadrate gibt, das 1:1 zugeordnet werden kann.

Ich verstehe das so das er die Frage auf Punkt 6 bezieht.

Ja. Erwiesenermaßen ist die Menge der vollkommenen Quadrate und die Menge der natürlichen Zahlen gleich groß, obwohl es viele Zahlen gibt, die Element der einen Menge aber nicht der anderen sind.

Das ist ein logischer Widerspruch, und da ist es egal, in welcher Grundmenge wir uns befinden. Denn auch in der Menge der reelen Zahlen sind vollkommene Quadrate immer noch nur Zahlen, deren Quadratwurzel eine positive ganze Zahl ist.

Mein "Lösungansatz" ist der, dass die formale Logik und die Mathematik eben in gewissen Fällen ihre Grenzen hat. Das zu erkennen bedeutet nicht, keine Aussagen mehr treffen zu können, sondern lediglich, dass in solchen Grenzfällen theoretisch trotzdem richtige Schlüsse gezogen werden können, da man weiß, dass man sich nicht nur auf die formale Logik verlassen darf.

[blueflash]

Das ist ein logischer Widerspruch, und da ist es egal, in welcher Grundmenge wir uns befinden.

Du hast zwar Recht, wenn du sagst, dass die Mathematik ihre Grenzen hat, aber nicht hier. Es ist nämlich kein logischer Widerspruch. Du kannst zwischen unendlichen Mengen Ausdrücke wie "mehr" oder "weniger" einfach nicht anbringen. Unendlich viel heisst halt unendlich viel.

[Dunderdon]

Du hast zwar Recht, wenn du sagst, dass die Mathematik ihre Grenzen hat, aber nicht hier. Es ist nämlich kein logischer Widerspruch. Du kannst zwischen unendlichen Mengen Ausdrücke wie "mehr" oder "weniger" einfach nicht anbringen. Unendlich viel heisst halt unendlich viel.

Nun ja, ich bin mir da nicht sicher, ob man das so einfach sagen kann. Erstens ist es für die Argumentation dieses Problems egal, ob es unendlich viele natürliche Zahlen oder volkommene Quadrate gibt, wichtig ist, es sind gleich viele, weil sie 1:1 zuordenbar sind.

Zweitens kann man auch Unendlichkeiten miteinander vergleichen. Man kann ja den Grenzwert von Reihen, die auf unendlich/unendlich-unendlich zustreben unter umständen auch auf einzelne Zahlen, die positive oder negative Unendlichkeit zurückführen. Ich weiß nicht mehr genau wie die Methode heißt, sie beinhaltet aber das Ableiten des oberen und unteren Bruchterms.

Außerdem finde ich, dass es eine ziemlich schlechte Argumentation ist zu sagen, dieses Paradoxon in der Mathematik ist kein Problem, weil es sich um Unendlichkeiten handelt, und bei denen ist das halt so. In diesem Fall verschiebst du die Ursache des Problems, das die Logik der Mathematik infrage stellt lediglich vom Bereich des "Das Ganze ist nicht größer als ein Teil davon" zum "Über Undendlichkeiten können keine Aussagen getroffen werden".

[Skymarshal]

Ich glaube das geht nur wenn A u. Q gegen unendlich laufen aber nicht unendlich sind. Wenn die unvollkommenen Zahlen unendlich sind ist der Wert größer als 0.

Habe hier noch einen Link gefunden: Unendlichkeit


Vielleicht hilft der ja weiter!

[Gerri]

..auf die Gefahr hin mich zu blamieren (war noch nie gut in Mathe) ,
seh ich das so:

A zu Q ist eben NICHT 1 zu 1 sondern ~ zu ~ (~ = unendlich)

A ist also ~
A=Q ...Q ist also auch ~
q (positive Zahlen die kein perf. Quadrat sind) ist auch ~

Q und q sind Teil der Menge A
also ist ~+~ = immernoch nur ~

unendlichkeiten kann man ja nicht addieren.. es bleibt immer unendlich...
oder seh ich das falsch?

[Troublegum]

4. Daraus folgt: Die Menge der positiven ganzen Zahlen ist gleich groß der Menge der vollkommenen Quadrate. A=Q

5. Es gibt aber positive ganze Zahlen, die keine vollkommene Quadrate sind.

6. Das Ganze (die postivien ganzen Zahlen) ist gleich groß wie ein Teil des Ganzen (die Menge der vollkommenen Quadrate), obwohl der andere Teil (die positiven ganzen Zahlen, die keine vollkommenen Quadrate sind) größer als Null ist.

Na, das ist ein Irrtum. Beide Mengen sind zwar abzählbar - das heisst aber nicht, dass diese zwei Mengen identisch sind. Die Menge der Quadrate ist eine echte Teilmenge des N.
Genauso kannst du jedem Bruch ein Tupel aus dem N^2 zuordnen. Damit sind die rationalen Zahlen auch abzählbar. Aber sie sind natürlich nicht gleich den natürlichen Zahlen.

Es gibt ja auch "genausoviele" natürliche wie reelle Zahlen.

So nicht korrekt. Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar. Insofern kann man leienhaft da schon sagen, es gibt "mehr" reelle Zahlen als natürliche.

[Spocky]

Da die Lösung für beide Fälle "unendlich" ist, ist eben das die Erklärung. Es gibt keinen Unterschied zwischen verschiedenen Unendlichkeiten

[Troublegum]

Da die Lösung für beide Fälle "unendlich" ist, ist eben das die Erklärung. Es gibt keinen Unterschied zwischen verschiedenen Unendlichkeiten

Ja doch, eben grade. Das ist es ja, was ich zu erklären versuche.
Es gibt abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich. beides ist unendlich, das andere ist aber "mehr" (das mehr nicht wörtlich nehmen, ist deshalb auch in "").

[Spocky]

Unsere Mathematik versagt leider in der Unendlichkeit

Der Abstand zweier benachbarter vollkommener Quadrate ist übrigens die Summe der dazugehörigen Basen. Vielleicht kannst du daraus etwas errechnen, das die die Differenz näher bringt

[Skymarshal]

Unsere Mathematik versagt leider in der Unendlichkeit

Der Abstand zweier benachbarter vollkommener Quadrate ist übrigens die Summe der dazugehörigen Basen. Vielleicht kannst du daraus etwas errechnen, das die die Differenz näher bringt

Ok, 2² = 4

2^4 = 16

Wo ist die Summe gleich der Differenz? Die Differenz wäre hier 12. Die Summe der Basen aber 4.

Hat mit dem Thema auch nichts zu tun.


Aber warum kommt man beim Verhältnis der unvollkommenen Zahlen/Quadrate auf einen Wert der höher ist als 0?

Also meiner Meinung nach kann die Summe der unvollkommenen Zahlen/Quadrate nur höher sein wenn ihre Wurzeln geringer sind. Oder umgekehrt.

Bei den vollkommenen ergibt es 1:1 = 0!