Berechnung der Fluchtgeschwindigkeit

[Apollo]

Die Formel für die Fluchtgeschwindigkeit ist: v = Wurzel((2*G*m)/r). G ist die Gravitationskonstante, m die Masse des Körpers vond em die Fluchtgeschwindigkeit berechnet werden soll und r der Abstand von dem Körper zum Gravitationszentrum.

Meine Frage ist, wie man diese Formel herleitet.

Danke schonmal!

[Troublegum]

Du hast einen Körper (klein m), der eine Kreisbahn (Radius r) um ein Massezentrum (groß M) vollführt und dazu muss er eine Fluchtgeschwindigkeit (v) erreichen. Wenn er nun eine Kreisbahn erreicht hat, dann ist die Zentripetalkraft der Kreisbewegung genauso groß wie die Gravitationskraft, die auf den Körper wirkt:
(mv²)/r = (GmM)/r²
nach v aufgelöst gibt:
v = Wurzel(GM/r)

[Apollo]

Ich kann zwar deine Erklärung einfach nachvollziehen, allerdings kommst du nicht auf die Formel der Fluchtgeschwindigkeit. Es fehlt der Faktor 2 im Radikant. Nur so kommt man zum Beispiel auf die allseits bekannten 11,2 km/s Fluchtgeschwindigkeit auf der Erde. Kannst es ja mal nachrechnen.

[Bynaus]

Die Rechnung ist nicht ganz einfach. Was man im Prinzip tut ist, man berechnet, wie schnell ein Körper wird, wenn er aus der Unendlichkeit her von der Erde angezogen wird. Man integriert dann die Beträge von unendlich bis zur Höhe der Erdoberfläche (von wo aus dieser Wert von 11.2 km/s ja auch gilt) und erhält dann eben besagte Formel.

Wenn du genau wissen willst, was man genau integriert, dann such ich dirs noch raus.

[Apollo]

Wäre nett wenn du mir das raussuchen kannst damit ich die ganze Herleitung genau nachvollziehen kann.

[Bynaus]

Die Herleitung hier ist doch noch ein wenig anders als die, die ich oben erwähnte, aber sie ist IMO einfacher. Hier wird einfach berechnet, wie gross die maximale Wurfhöhe eines Körpers, in Abhängigkeit der Anfangsgeschwindigkeit ist, und dann wird diese Wurfhöhe in die Unendlichkeit "extrapoliert".

Ein Körper im homogenen Schwerefeld der Erde wird nur durch die Schwerkraft beschleunigt (bzw. in diesem Fall gebremst):

F(g) = -G * M * m / r^2, wobei F(g) = m * a

Die Beschleunigung ist also: a = - G * M / r^2

Da a (eine Beschleunigung) auch als Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit betrachtet werden kann, man also schreiben kann:

a = dv/dt

können wir das mit dr/dr erweitern, neu anordnen und erhalten:

a = dv/dr * dr/dt

dr/dt ist die Änderung des Radius pro Zeit, für einen senkrecht aufsteigenden Körper also gleich der Geschwindigkeit. Folglich können wir schreiben:

a = dv/dr * v

Dies setzen wir nun in obige Gleichung ein und erhalten:

dv/dr * v = - G * M / r^2

Wir nehmen dr auf die rechte Seite.

dv * v = (- G * M / r^2) * dr

So haben wir nun eine Formel, die wir integrieren können, in der wir die Änderung der Geschwindigkeit (dr) genau so drin haben wie die Änderung des Radius. Wir integrieren also auf beiden Seiten und erhalten:

1/2 v^2 = G * M / r + c1 (c1 ist eine Integrationskonstante)

Um c1 zu bestimmen, lösen wir nach c1 auf:

c1 = 1/2 v^2 - G * M / r

Für c1 kann man jetzt "Rahmenbedingungen" einsetzen, so dass c1 eine Zahl wird. Wir wollen den Körper ja von der Erdoberfläche aus abschiessen, also setzen wir für r den Erdradius R ein. Für v setzen wir hier die gesuchte Fluchtgeschwindigkeit v0 ein. Wir ersetzen noch G * M / R durch g * R, da g = G * M / R^2. Damit ergibt sich für c1:

c1 = 1/2 v0^2 - g * R (eine Zahl!)

Jetzt setzen wir das ganze in die vorhin erhaltene Gleichung ein (auch hier ersetzen wir G *M durch g * R^2) und erhalten:

1/2 v^2 = g * R^2 / r + 1/2 v0^2 - g * R

Bei der maximalen Steighöhe r = r(max) gilt v = 0, daraus ergibt sich dann:

r(max) = R / (1 - (v0^2 / 2 * R * g))

Da wir r(max) im Unendlichen haben wollen, muss der Nenner = 0 werden, das gilt genau dann, wenn (v0^2 / 2 * R * g) = 1 gilt. Deshalb muss v0^2 = 2 * R * g werden, damit r(max), die maximal erreichbare Steighöhe, im Unendlichen liegt.

Also:

v0^2 = 2 * R * g

Und somit:

v0 = Wurzel aus (2 * R * g) bzw. = Wurzel aus (2 * G * M / R)

So, ich hoffe, du bist mitgekommen und mir sind keine Fehler unterlaufen...

[McWire]

Auch wenn der Thread schon bissl älter ist und die Frage beantwortet, möchte ich mal einen leichteren Weg vorschlagen.

Fluchtgeschwindigkeit bedeutet, dass ein Körper eine größere kinetische Energie haben muss als die potentielle Energie seiner Lage an der Erdoberfläche ausmacht.

Ekin = m/2 v²

Epot = m g h

(beide Formeln findet man in diversen Tafelwerken und Physikbüchern)

Die Höhe h ist in dem obrigen Fall der Radius R der Erde.

Epot = m g R

...dann nur noch gleichsetzen:

Ekin = Epot

m/2 v² = m g R

v² = 2 g R

v = Wurzel (2*g*R) -> v = Wurzel (2*GM/r)

et voila

(So haben wir die Herleitung in der Schule gelernt... einige wenige die ich mir auch noch bis nach dem Abi merken konnte )


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EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
McWire schrieb nach 6 Minuten und 27 Sekunden:

Du hast einen Körper (klein m), der eine Kreisbahn (Radius r) um ein Massezentrum (groß M) vollführt und dazu muss er eine Fluchtgeschwindigkeit (v) erreichen. Wenn er nun eine Kreisbahn erreicht hat, dann ist die Zentripetalkraft der Kreisbewegung genauso groß wie die Gravitationskraft, die auf den Körper wirkt:
(mv²)/r = (GmM)/r²
nach v aufgelöst gibt:
v = Wurzel(GM/r)

Das ist übrigends die erste kosmische Geschwindigkeit, die man benötigt die Umlaufbahn zu erreichen... im Falle der Erde ca 7,8 km/s.