Pioneer-10 und -11 Der erste Flug ins äußere Sonnensystem

[Hornblower]

DragoMuseveni: Allerdings, und das muss man zugestehen, ist die Menge der Beobachtungen, die wir machen/gemacht haben, verschwindent klein

Prinzipiell besteht Ungewissheit. Da stimme ich Dir zu. Aus Spaß möchte ich mal den folgenden Gedanken hinzufügen: Das in meinem obigen Beitrag genannte Prinzip der Induktion ist nicht logisch begründbar. Könnte man es vielleicht anders begründen? Vielleicht empirisch? Schließlich hat sich Induktion bisher bewährt. Dieses Argument wäre leider induktiver Natur; wir dürfen aber nicht annehmen, was wir zeigen wollen. Wie könnte man es sonst einsehen? Noch fundamentaler als das Prinzip der Induktion und ganz wesentlich ist die Annahme, dass die Welt einen hohen Grad an Ordnung aufweist, d.h. Muster und Wiederholungen; deswegen können gründlich überlegte und recht einfache Verallgemeinerungen mit erstaunlich hoher Wahrscheinlichkeit zutreffen. Das Induktionsprinzip lässt sich nun aus dem anthropischen Prinzip ableiten, denn jedes denkbare Universum, in dem es intelligente Lebewesen gibt, muss notwendigerweise einen hohen Grad an Ordnung aufweisen. D.h. jedes intelligente Lebewesen muss feststellen, dass das Prinzip der Induktion mit recht hohem Erfolg anwendbar ist.
Solche Überlegungen sind natürlich hochspekulativ, Ungewissheit besteht weiterhin. Wenigstens gibt es unterschiedliche Grade an Ungewissheit.

Um auf den ursprünglichen Gedanken zurückzukommen: Man könnte andererseits auch sagen, dass es ein höchstverblüffender Zufall wäre, wenn die Tausenden von Daten, die wir von sehr fernen Orten und Zeiten empfangen haben, nur zufällig so genau zu unseren Naturgesetzen passen würde.

Tom1991: Wenn man wirklich davon ausgeht, dass das Universum annähernd unendlcihe größe hat, sind die bedeutung beobachtungen die wir machen auch annähernd unendlich klein.

Es gibt überzeugende Hinweise dafür, dass das Universum ca. 13,7 Milliarden Jahre alt ist. Wir können mit unseren Teleskopen Objekte sehen, die mehr als 10 Milliarden Lichtjahre weit weg sind. Folglich ist der Beobachtungsbereich schon ziemlich groß, auch wenn er nur unvollständig erfasst wird.
Also ganz so selektiv sind unsere Daten nicht.

Tom1991: Aber es wird mit sicherheit Orte geben, die wir uns nopch nicht einmal vorstellen können

Die moderne Physik hat in der Tat gezeigt, dass Menschen sich vieles nicht vorstellen können, obwohl die Mathematik es äußerst zutreffend beschreibt; in der Quantenwelt und Astronomie gibt es viele solcher Beispiele.
Aus dem Scheitern unseres Vorstellungsvermögens, das schließlich an das Leben auf der Erde und an bestimmte Größenverhältnisse angepasst ist, folgt also nicht, dass außerhalb unserer Wahrnehmung und Vorstellung Beliebiges passiert.

Tom1991: an denen die Erd-Physik völlig auf den Kopf gestellt wird.

Das hängt jetzt davon ab, was Du unter Erd-Physik verstehst. Wenn man darunter z.B. verstünde, dass die Gravitation eine konstante Beschleunigung verursachte von knapp 10 m/s^2 und das dies bereits das universelle Gesetz der Gravitation wäre, dann hättest Du in der Tat recht.
Unter Naturgesetz verstehe ich etwas, das im ganzen Universum gilt, und die astronomischen Aufnahmen, die sich fast bis an den Rand des Universums erstrecken, weisen auf die Universalität der Naturgesetze hin. Die Fly-by- und die Pioneer-Anomalie wurden übrigens - astronomisch gesehen - in unserer Nähe festgestellt und nicht in großer Entfernung. Diese Anomalien beruhen also allem Anschein nach nicht darauf, dass die Naturgesetze an fernen Orten anders sind, sondern darauf, dass wir die universalen Gesetze noch nicht vollständig kennen.
Die Daten sprechen also dafür, dass die Hypothese der Universalität der Naturgesetze eher anzunehmen als abzulehnen ist. Wenn ich mich in einer Situation der Ungewissheit für eine Alternative entscheiden sollte, so würde ich diejenige Alternative wählen, die durch Hinweise gedeckt wird.

Um dies noch etwas deutlicher zu machen: Die Menge des widerspruchsfrei Denkbaren ist gewaltig groß; die Wahl einer denkbaren, aber unfundierten Annahme führt daher leicht zu Unsinn. Ein humorvolles, aber treffendes Beispiel sei genannt:
„Wenn ich behaupten würde, dass es zwischen Erde und Mars eine Teekanne aus Porzellan gäbe, welche auf einer elliptischen Bahn um die Sonne kreise, so könnte niemand meine Behauptung widerlegen, vorausgesetzt, ich würde vorsichtshalber hinzufügen, dass diese Kanne zu klein sei, um selbst von unseren leistungsfähigsten Teleskopen entdeckt werden zu können. Aber wenn ich nun daherginge und sagte, da meine Behauptung nicht zu widerlegen ist, sei es eine unerträgliche Anmaßung menschlicher Vernunft, sie anzuzweifeln, dann könnte man zu Recht denken, ich würde Unsinn erzählen. Wenn jedoch in antiken Büchern die Existenz einer solchen Teekanne bekräftigt würde, dies jeden Sonntag als heilige Wahrheit gelehrt und in die Köpfe der Kinder in der Schule eingeimpft würde, dann würde das Anzweifeln ihrer Existenz zu einem Zeichen von Exzentrizität werden. Es würde dem Zweifler, in einem aufgeklärten Zeitalter, die Aufmerksamkeit eines Psychiaters oder, in einem früheren Zeitalter, die Aufmerksamkeit eines Inquisitors einbringen.“ (Bertrand Russell)
Ein anderes Beispiel: Niemand kann beweisen, dass es nirgendwo im Universum Jedi-Kräfte gibt, aber die Annahme von Jedi-Kräften ist nicht ernstzunehmen, weil man damit ganz willkürlich etwas aus der sehr großen Menge des Denkbaren herausgenommen hätte. Man hätte genausogut das Gegenteil annehmen können. Eine ernstzunehmende Annahme muss fundiert sein.

[DragoMuseveni]

Prinzipiell besteht Ungewissheit. Da stimme ich Dir zu. Aus Spaß möchte ich mal den folgenden Gedanken hinzufügen: Das in meinem obigen Beitrag genannte Prinzip der Induktion ist nicht logisch begründbar. Könnte man es vielleicht anders begründen? Vielleicht empirisch?

Wie du schon richtig sagtest, wäre die "empirische" Begründung zirkulär, da sie wieder auf den gleichen Prinzip beruht.
Eine Wahrscheinlichkeitsüberlegung habe ich ja auch weiter oben grbracht...

Noch fundamentaler als das Prinzip der Induktion und ganz wesentlich ist die Annahme, dass die Welt einen hohen Grad an Ordnung aufweist, d.h. Muster und Wiederholungen; deswegen können gründlich überlegte und recht einfache Verallgemeinerungen mit erstaunlich hoher Wahrscheinlichkeit zutreffen.

Eigentlich nicht. Die Annahme, dass das Universum sich nach bestimmten Gesetzen verhält ist, wenn man die Induktion aus der Erfahrung weglässt, eigentlich ein genau so unsichere Annahme, wie das Gegenteil.

[Hornblower]

DragoMuseveni: Die Annahme, dass das Universum sich nach bestimmten Gesetzen verhält ist, wenn man die Induktion aus der Erfahrung weglässt, eigentlich ein genau so unsichere Annahme, wie das Gegenteil.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Dich in dieser Aussage verstehe, vermute aber, dass ein Missverständnis besteht und wir vielleicht übereinstimmen. Um Klarheit zu gewinnen, möchte ich die auftretenden Ideen präzisieren und bei der Gelegenheit einige andere interessante Gedanken erläutern, da mich solche Themen ziemlich faszinieren.

Es bezeichne (I) das Prinzip der Induktion. (I) besagt Folgendes: Sei phi(x) eine Eigenschaft. Vorausgesetzt phi(a_1), phi(a_2), phi(a_3), ... phi(a_n) sind wahre Aussagen, wobei n groß ist und a_1, a_2, ..., a_n nicht sehr selektiv gewählt sind, dann ist es vernünftig, die Hypothese anzunehmen, dass phi(x) für alle x gilt.
Wahrscheinlich wird eine auf so einfache Weise gewonnene Hypothese zwar widerlegt werden, und dieser Widerlegungs- und Verfeinerungsprozess wird zu besseren Theorien führen; aber so ein Verfeinerungsprozess wäre nicht möglich, wenn wir uns nicht zuerst von so einer Hypothese leiten liessen.

Das Argument meines vorigen Beitrages, dass (I) nicht auf empirischen Weg erkannt werden kann, stammt übrigens ursprünglich von dem schottischen Philosophen David Hume.
Der Philosoph Karl Popper wollte auf (I) verzichten, weil (I) ihm zu unsicher und irrational erschien. Stattdessen meinte er Folgendes: Wir können universellen Aussagen nicht empirisch beweisen (wozu man ja (I) bräuchte), aber wir können existenzielle Aussagen empirisch beweisen; man kann z.B. nicht empirisch beweisen, dass alle Schwäne weiß sind, aber man kann empirisch beweisen, dass mindestens ein Schwan nicht weiß ist; d.h. man kann empirisch beweisen, dass bestimmte universelle Aussagen falsch sind. Dieser Gedanke hat Popper beruhigt, weil demnach die Wissenschaftler doch sehr sicher argumentieren: Sie falsifizieren Theorien, aber beweisen sie nicht. Das Problem dabei ist, dass Popper hiermit nur einen Teil der wissenschaftlichen Arbeit erfasst, denn es werden durchaus Hypothesen beruhend auf (I) aufgestellt, die verblüffend gut funktionieren.

In der Mathematik gibt es übrigens die folgende bemerkenswerte Situation: Man kann universelle Aussagen durchaus beweisen, aber 1. logisch, nicht empirisch und 2. meistens (aber nicht unbedingt) auf der Grundlage von Axiomen, deren Wahrheit eine interessante und keineswegs offensichtliche Angelegenheit ist. Die Mathematik erlaubt es also, eine universelle Aussage, deren empirische Überprüfung unendlich lange dauern würde, in endlicher Zeit durch eine logische Argumentation einzusehen. Am Anfang des 20. Jahrhunderts war man so optimistisch, dass man dachte, dies würde immer klappen, doch dann haben Turing und Gödel gezeigt, dass das nicht immer geht, d.h. es gibt nicht immer eine logische Abkürzung, mit der man sich den unendlich langen Weg ersparen kann. Im nachhinein ist dieses einschränkende Resultat nicht sehr verblüffend, denn man hat Übertriebenes erwartet. Die Mathematik leidet zwar weniger unter dem Induktionsproblem als die Naturwissenschaft, aber in gewisser Weise ist sie trotzdem schwerer, denn in der Mathematik geht es um alles, was widerspruchsfrei und präzide denkbar ist, die Physik ist nur ein winziger Teil davon; außerdem möchte man in der Mathematik oft sehr starke Aussagen (über unendliche Mengen) beweisen, wobei man dann an die Grenzen des Machbaren stösst.

Zurück zum eigentlichen Thema. Es bezeichne (U) das Prinzip der Uniformität, welches besagt, dass die Welt viele Symmetrien aufweist und durch einfache Prinzipien geordnet ist. Dieses Prinzip ist erheblich vager als (I), aber wir betreiben ja gerade spekulative und nie ganz befriedigende Wissenschaftsphilosophie. Außerdem ist (U) stärker und daher noch unsicherer als (I), d.h. (U) impliziert (I), denn Verallgemeinerungsversuche werden in einer hochgeordneten Welt häufiger zum Erfolg führen als in einer chaotischen Welt.

Der folgende Absatz ist weniger stichhaltig als die anderen Absätze, bietet aber eine unterhaltsame Argumentation.

Bei der Gelegenheit möchte ich einen Gedanken aus meinem vorigen Beitrag ausführen: Sei (N) die Eigenschaft eines gedachten Universums, dass dort intelligente Lebewesen leben. Dann impliziert (N) wohl (U), da Intelligenz ohne zu erkennende Prinzipien oder Muster sich nicht lohnen und entwickeln würde; vor allem aber ist Leben eine spezielle Art der Anordnung und daher mit der Negation von (U) nicht kompatibel. Wie wir gesehen haben impliziert (U) außerdem (I). Insgesamt haben wir also die Spekulation erhalten, dass (N) => (I) gilt. Nach Descartes ist die höchste Gewissheit die Existenz des eigenen Bewusstseins, d.h. es existiert mindestens eine intelligente Lebensform im Universum, folglich gilt (N). Insgesamt erhalten wir (I).
Der größte Schwachpunkt bei dieser Argumentation ist offensichtlich (N) => (U).

.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Hornblower schrieb nach 24 Minuten und 49 Sekunden:

Nachtragen möchte ich, dass man mittels (I) und unseren heutigen Beobachtungen begründen kann, dass (U) vermutlich wahr ist.
In dem vorigen Beitrag wurde u.a. (U) => (I) begründet. Es ist zwar nicht einzusehen, dass umgekehrt (U) allgemein von (I) impliziert wird, aber es gilt (I) + Messdaten => (U) in unserem speziellen Universum - und dabei ist "=>" nicht als strenge Implikation zu verstehen, sondern nur als "impliziert wahrscheinlich".

In den folgenden Absätzen sei angenommen, dass die aus den Messdaten und (I) gewonnen Verallgemeinerungen, d.h. die zur Zeit bekannten Naturgesetze eine gute Approximation für sehr viele Phänomene abgeben. Davon ausgehend wollen wir uns davon überzeugen, dass (U) vermutlich wahr ist.

Zu (U) gehört, dass die Welt durch einfache Prinzipien geordnet ist. Das scheint tatsächlich so zu sein, denn in den Naturgesetzen treten äußerst einfache mathematische Objekte auf. Diese Objekte sind zwar für den Menschenverstand (teils sehr) schwer zu handhaben, sind aber mathematisch gesehen beachtlich einfach; sehr häufig treten berechenbare Funktionen in der Physik auf, obwohl der größte Teile aller Funktionen nicht-berechenbar ist; sehr häufig treten sehr glatte Funktionen auf, obwohl der größte Teil aller Funktionen nicht-glatt nicht hat; Differentialgleichungen sind meist ziemlich prägnant und weisen selten höhere Ableitungen als die zweite Ableitung auf.
Wer z.B. die Maxwellschen Gleichungen kennt, wird zustimmen, dass sie erstaunlich prägnant und im Prinzip nicht schwierig sind; ihre Auswertung kann schwierig und aufwändig sein, aber im Prinzip sind diese Gleichungen verblüffend einfach.

Dass die gesamte Welt einheitlich von Prinzipien bestimmt ist, zeigt sich auch immer wieder in Erfolgen der Wissenschaften: Beispielsweise bestimmte Galileo mittels (I) die Fallgesetze; genauer gesagt hat er sogar (U) benutzt, denn er hat das mathematisch einfachste Objekt genommen, das zu den Daten passte (Konstante kombiniert mit Quadrieren). Außerdem bestimmte Kepler ebenfalls mit (U) die Planetenbahnen; es gibt überabzählbar viele Bahnen, die zu den Daten gut passen, aber er hat die mathematisch einfachste Bahn gewählt, nämlich die Ellipsenbahn. Wir wissen heute dank der allgemeinen Relativitätstheorie, dass dies nicht ganz perfekt stimmt, aber erstens ist es trotzdem erstaunlich, dass es eine derartig einfache Approximation gibt, und zweitens basiert die allgemeine Relativitätstheorie selbst auf im Grunde einfachen Prinzipien. Worauf ich eigentlich hinaus will, ist dies: Newton hat die verschiedenen Phänomene des Fallens und der Planetenbewegung vereinigen können; er hat ein umfassendes Prinzip gefunden. Es ist von vornherein überhaupt nicht klar, dass diese beiden Phänomene zusammengeführt werden können; das ist durchaus bemerkenswert. Dieses Finden eines einfachen Prinzip, dass bekannte Theorien und Phänomene umfasst, ist erstaunlich häufig gelungen, was zum Prinzip der Uniformität sehr gut passt.

Zuletzt sei noch kurz etwas zu den Symmetrien gesagt: Zeitliche und eine bestimmte räumliche Symmetrie bedeuten gerade, dass die Naturgesetze überall und immer gelten, worauf schon HiroP hinwies. Auch wenn die Welt nicht hundertprozentig symmetrisch ist - in diesem Fall wäre sie leblos -, weist sie beachtliche Symmetrien auf.

PS) Ich werde in den nächsten Tagen wohl weniger schnell antworten, weil meine Gefährtin nach dreiwöchigem Aufenthalt im Ausland zurückkommen wird; wir werden dann viel Zeit miteinander verbringen.

[DragoMuseveni]

Das Argument meines vorigen Beitrages, dass (I) nicht auf empirischen Weg erkannt werden kann, stammt übrigens ursprünglich von dem schottischen Philosophen David Hume.

"Nicht auf empirischen Weg" ist dabei aber etwas schwammig. Wenn ich mich recht erinnere, hat Hume "nur" gezeigt, dass die folgerung von einer Reihe von Beobachtungen auf ein allgemeines Gesetzt KEINE logische ist.
Sprich (I) ist ein eigenes Prinzip oder, da du ja bereits formal schreibst versuche ich es auch: phi_1, phi_2, phi_3...phi_n =/> allquator(x) phi(x) (hoffe man versteht was ich meine).
"Empirischer Weg" ist ja eigentlich identisch mit (I).

Zurück zum eigentlichen Thema. Es bezeichne (U) das Prinzip der Uniformität, welches besagt, dass die Welt viele Symmetrien aufweist und durch einfache Prinzipien geordnet ist. Dieses Prinzip ist erheblich vager als (I), aber wir betreiben ja gerade spekulative und nie ganz befriedigende Wissenschaftsphilosophie. Außerdem ist (U) stärker und daher noch unsicherer als (I), d.h. (U) impliziert (I), denn Verallgemeinerungsversuche werden in einer hochgeordneten Welt häufiger zum Erfolg führen als in einer chaotischen Welt.

Naja, wie ich schon sagte, (U) müsste eigentlich aus (I) gewonnen werden, weil (U) ist, wie du schon sagtest, das unsichere Prinzip...
Ausserdem ist es etwas schwammig.
Sagen wir (U) ist die Annahme von immergültigen(festen) Naturgesetzten.
Es scheint mir praktisch dann eher so, dass man (U) aus (I) gewinnt.

Edit: (I) ist eine Methodik, während (U) schon eher eine Aussage ist.
Der Gedanke wird vielleicht etwas klarer, wenn man sich fragt, ob (I) =/= (U) ist.
Gibt es dann eine mögliche Situation in der (I), aber nicht (I) => (U) gilt?
Ja, aber gibt es eine in der (U) => (I) nicht gilt?

Sprich, (I) ist, weil notwendige Bedingung von (U), die Methodik die man anwenden sollte, wenn man festen Naturgesetzte ausgeht...Aber wieso sollte man von solchen aussgehen, wenn nicht durch (I)?

[Hornblower]

DragoMuseveni: Wenn ich mich recht erinnere, hat Hume "nur" gezeigt, dass die folgerung von einer Reihe von Beobachtungen auf ein allgemeines Gesetzt KEINE logische ist.

Da erinnerst Du Dich unvollständig. Es stimmt zwar, dass Hume darauf hingewiesen hat, dass Erfolg durch induktives Schliessen keine logische Wahrheit ist, aber er hat mehr als das gezeigt. Er hat nämlich auch auf das sogenannte Problem der Induktion hingewiesen, d.h. das (I) weder logisch noch empirisch bewiesen werden kann.
Um (I) empirisch zu beweisen, bräuchte man ja gerade (I): Wenn man sagt, dass sich (I) bisher in der Wissenschaft bewährt habe und es daher als richtig anzunehmen sei, verwendet man stillschweigend (I).

Bei der Gelegenheit möchte ich auf eine mögliche Quelle der Verwirrung hinweisen. Was bedeutet es, dass eine Aussage logisch wahr ist? Und was bedeutet es, dass eine Aussage logisch beweisbar ist?

• Logisch wahr ist eine Aussage A genau dann, wenn A notwendigerweise wahr ist, d.h. wenn A in jedem denkbaren Falle wahr ist (und daher unabhängig von konkreten Fakten ist). Solch eine Aussage ist allein aufgrund ihrer Struktur logisch wahr. Ein Beispiel: Jeder Mensch ist irgendwann tot oder niemals tot. Selbst eine Person, die gerade deutsch lernt, aber weder die Bedeutung von "Mensch" noch von "tot" kennt, wird einsehen, dass dieser Satz notwendigerweise wahr ist. So eine Aussage nennt man auch eine (logische) Tautologie.
• Im engeren Sinne logisch beweisbar ist eine Aussage A genau dann, wenn A ohne Verwendung von Axiomen durch logische Argumentation als wahr erkannt werden kann.
• Im weiteren Sinne logisch beweisbar ist eine Aussage A genau dann, wenn es solche Aussagen A_1, A_2, ..., A_n gibt, dass erstens die Folgerung A_1 & A_2 & ... & A_n => A logisch beweisbar im engeren Sinne ist und zweitens die Aussagen A_1, A_2, ..., A_n im aktuellen Kontext als Axiome gelten. Beispielsweise ist 1+1>1 nicht im engeren Sinne, aber im weiteren Sinne logisch beweisbar - nämlich im Kontext der Zahlentheorie.

Bemerkenswert ist nun das Folgende: Der berühmte Logiker Kurt Gödel hat nicht nur zwei Unvollständigkeitssätze bewiesen, sondern auch einen Vollständigkeitssatz, was weniger bekannt ist.
Der Vollständigkeitssatz besagt, dass logisch wahr und im engeren Sinne logisch beweisbar äquivalent sind; folglich ist jede logische Wahrheit (im engeren Sinne) beweisbar.
Man kann übrigens ganz allgemein und systematisch erfassen, was ein logischer Beweis (im engeren Sinne) ist, so dass ein Computer Beweise überprüfen und sogar selbst finden kann; prinzipiell kann ein Computer sogar aus einem gegebenen Axiomensystem alles beweisen, was auch ein Mensch beweisen kann; nur sind die heutigen automatischen Beweiser in vielen Fällen zu langsam (aber das waren frühere Schachprogramme auch).

Worauf ich eigentlich hinaus will, ist die Klärung der Aussage, dass (I) weder logisch noch empirisch beweisbar ist. Oben haben wir bereits eingesehen, dass (I) nicht empirisch beweisbar ist. Zudem ist (I) nicht logisch beweisbar (im engeren Sinne), denn (I) ist keine logische Wahrheit, weil induktives Schliessen in einem denkbaren, chaotischen Universum unerfolgreich wäre (dieses informale Argument lässt sich bemerkenswerterweise formalisieren). Aber natürlich kann (I) logisch beweisbar im weiteren Sinne sein, wobei die Unsicherheit von (I) dann auf ein Axiomensystem abgeladen würde.

DragoMuseveni: (U) müsste eigentlich aus (I) gewonnen werden, weil (U) ist, wie du schon sagtest, das unsichere Prinzip...

Es ist eine interessante Frage, welcher Bestandteil von A=>B unsicherer ist. Tatsächlich ist A dabei mindestens so unsicher wie B. Denn: Angenommen es gilt A=>B. Wenn B dann falsch wäre, müsste A auch falsch sein; d.h. B muss A - bildlich gesprochen - mit in den Abgrund ziehen. Umgekehrt muss das aber nicht gelten.

Ich möchte dies an zwei Beispielen illustrieren.
1. Sie A die Aussage "DragoMuseveni befindet sich zur Zeit in München." und sei B die Aussage "DragoMuseveni befindet sich zur Zeit in Europa.". Dann ist A=>B logisch beweisbar (im weiteren Sinne, im Kontext der Geographie der Erde). Offenbar ist A unsicherer als B.
2. Wenn die Axiome der Mengenlehre widerspruchsfrei sind, dann sind die Axiome der elementaren Zahlentheorie widerspruchsfrei. Diese Folgerung ist logisch beweisbar (im weiteren Sinne, im Kontext elementarer Mathematik). Die Umkehrung ist aber nicht beweisbar.
Es steht unter Mathematikern außer Frage, dass die Mengenlehre unsicherer ist als die elementare Zahlentheorie. Es kam um 1900 in der Mathematik sogar zu einer Grundlagenkrise, weil sich die Mengenlehre als widersprüchlich erwies. Erst Ernst Zermelo hat (vor ziemlich genau 100 Jahren) die Axiome der Mengenlehre so modifiziert, dass sie vermutlich widerspruchsfrei sind. Beweisen kann man das aber nicht, man vermutet es aber.

Eine etwas intuitivere Interpretation sei noch hinzugefügt: Die Folgerung A=>B impliziert, dass A mindestens so viel Information enthält wie B; das kann man an den obigen Beispielen gut sehen.
Je mehr aber behauptet wird, desto leichter kann ein Irrtum auftreten. Deswegen ist A mindestens so unsicher wie B.
Aufschlussreich ist dabei, sich das Spektrum der Aussagen bzgl. ihres Informationsgehaltes anzusehen. Eine Tautologie enthält minimal viel Information, denn Tautologien können ohne Axiome bewiesen werden. Eine widersprüchliche Aussage hingegen enthält maximal viel Information, zu viel Information; daher kann man alles aus einer widersprüchlichen Aussage folgern. Tautologien und Kontradiktionen bilden also die extremen Pole; dazwischen liegen die gebräuchlichen Axiomen. Durch das Hinzufügen von Information nähert man sich immer mehr dem widersprüchlichen Pol an; auch deswegen ist A mindestens so unsicher wie B.

Ich verstehe aber, wie man darauf kommen könnte, dass A sicherer erscheint. Vermutlich liegt es daran, dass man sich unter A ein sicheres Axiom vorstellt.
Auch Axiome sind jedoch mit Unsicherheit behaftet.

DragoMuseveni: (I) ist eine Methodik, während (U) schon eher eine Aussage ist.

(I) ist die Aussage, dass induktives Schliessen häufig zu wissenschaftlichen Erfolgen führt.
(U) ist die Aussage, dass die Welt einheitliche, einfache Prinzipien und Symmetrien aufweist und insofern sehr geordnet ist.

Es gilt (U)=>(I), weil Verallgemeinerungsversuche in einer geordneten Welt überzufällig erfolgreich sind.

Außerdem gilt (I) + unsere Messdaten => (U), wie ich in meinem vorigen Beitrag zu begründen versucht habe. Ich wüsste aber nicht, wie man (I) => (U) direkt einsehen könnte; beispielsweise ist rein induktiv nicht vorherzusagen, dass Newton Erfolg hat bei der Vereinigung der Planetenbewegung und des Fallens oder dass Maxwell Erfolg bei der Vereinigung von magnetischen und elektrischen Feldern hat. Wir kennen mittlerweile viele Erfolge solcher Vereinheitlichungsversuche, woraus wir wegen (I) auf (U) schliessen können. Nur mit (I) und ohne die Kenntnis der Vereinheitlichungserfolge ist dieser Schuss nicht möglich.
Auch die Einfachheit der mathematischen Bestandteile der Physik folgt nicht aus (I). Außerdem führen erst unsere astronomischen Beobachtungen + (I) zu der Erkenntnis, dass die Naturgesetze überall und immer gelten; (I) allein impliziert keine Symmetrien.

[DragoMuseveni]

Da erinnerst Du Dich unvollständig. Es stimmt zwar, dass Hume darauf hingewiesen hat, dass Erfolg durch induktives Schliessen keine logische Wahrheit ist, aber er hat mehr als das gezeigt. Er hat nämlich auch auf das sogenannte Problem der Induktion hingewiesen, d.h. das (I) weder logisch noch empirisch bewiesen werden kann.
Um (I) empirisch zu beweisen, bräuchte man ja gerade (I): Wenn man sagt, dass sich (I) bisher in der Wissenschaft bewährt habe und es daher als richtig anzunehmen sei, verwendet man stillschweigend (I).

Obwohl die ablehnung des Zirkelschlusses vielleicht nicht in engeren Sinne zur Logik gehört, habe ich das hier dazu gezählt. Jedenfalls sehe ich nicht, was daran "empirisch" sein soll, es handelt sich ja eher um eine "apriorische" Überlegung.
Ausserdem sagte ich ja, dass (I) der Weg des empirischen Beweises ist.

Bemerkenswert ist nun das Folgende: Der berühmte Logiker Kurt Gödel hat nicht nur zwei Unvollständigkeitssätze bewiesen, sondern auch einen Vollständigkeitssatz, was weniger bekannt ist.
Der Vollständigkeitssatz besagt, dass logisch wahr und im engeren Sinne logisch beweisbar äquivalent sind; folglich ist jede logische Wahrheit (im engeren Sinne) beweisbar.
Man kann übrigens ganz allgemein und systematisch erfassen, was ein logischer Beweis ist, so dass ein Computer Beweise überprüfen und sogar selbst finden kann; prinzipiell kann ein Computer aus einem gegebenen Axiomensystem alles beweisen, was auch ein Mensch beweisen kann; nur sind die heutigen automatischen Beweiser in vielen Fällen zu langsam (aber das waren frühere Schachprogramme auch).

Also soviel von Logik wüsste ich auch noch.

Zudem ist (I) nicht logisch beweisbar (im engeren Sinne), denn (I) ist keine logische Wahrheit, weil induktives Schliessen in einem denkbaren, chaotischen Universum unerfolgreich wäre (dieses informale Argument lässt sich formalisieren).

Das habe ich auch nie bestritten.

Es ist eine interessante Frage, welcher Bestandteil von A=>B unsicherer ist. Tatsächlich ist A dabei mindestens so unsicher wie B. Denn: Angenommen es gilt A=>B. Wenn B dann falsch wäre, müsste A auch falsch sein; d.h. B muss A - bildlich gesprochen - mit in den Abgrund ziehen. Umgekehrt muss das aber nicht gelten.

Und du hast oben gezeig, dass aus (U) (I) Folgt, also gibst du selbst zu, dass (U) unsicherer ist!
Nichts anderes habe ich ja behauptet...Den (U) lässte sich aus (I) nur mit der Reihe phi_1, phi_2...phi_n ableiten.

Also gibt es für (U) keinen Beweis und die Annahme ist genauso unsicher, wie das Gegenteil. (I) ist aber eine notwendige Bedinung von (U), also nimmt jeder der an (U) glaubt, quasie implitzit auch (I) an.

Die Forderung, dass man da erstmal (U) aus (I) und der Reihe ableitet, scheint mir da ganz nahe zu liegen.

Mag sein, dass ich mich verwirrend ausdrücke, oder tatsächlich einen Denkfehler aufliege...

Meine Aussage war: Nur durch (I) glauben die Leute, im Alltag, an (U)...Wenn man (U) vorraussetzt, ist das nur ein glaube und unempirisch, ausserdem wird dieser Weg praktisch nie geganngen.

[Hornblower]

DragoMuseveni: Jedenfalls sehe ich nicht, was daran "empirisch" sein soll

Unter einem empirischen Beweis verstehe ich einfach das Sammeln von Daten, um eine Verallgemeinerung aufzustellen oder zu prüfen. Unter Annahme von (I) ist das Aufstellen einer solchen Verallgemeinerung wissenschaftlich vernünftig.
Würde man (I) damit zu begründen versuchen, dass sich (I) häufig bewahrheitet hat, würde man versuchen, (I) empirisch zu beweisen.

DragoMuseveni: Also soviel von Logik wüsste ich auch noch.

Das ist beachtlich. Nach meiner Erfahrung wissen selbst Mathematikstudenten dies nur erstaunlich selten; weil die Mathematik heute so riesig ist, kann man ja aber auch nicht mehr alles wissen.
Das erstaunt mich besonders, weil in Deinem Profil vermerkt ist, dass Du Schüler bist. Meiner Kenntnis nach lernt man im Mathematikunterricht Rechnen, aber nahezu kein Beweisen.
Da meiner Erfahrung nach diese recht speziellen Konzepte und Tatsachen nur wenigen bekannt sind, kam ich auf die Idee, Dir dies zu erläutern.

DragoMuseveni: Und du hast oben gezeig, dass aus (U) (I) Folgt, also gibst du selbst zu, dass (U) unsicherer ist!

Richtig. Ich habe hoffentlich in keinem vorigen Beitrag das Gegenteil behauptet. Offenbar habe ich Dich missverstanden und daher angenommen, Du hättest bezweifelt, dass (U) unsicherer als (I) wäre. Jetzt verstehen wir uns vermutlich.

[DragoMuseveni]

Das ist beachtlich. Nach meiner Erfahrung wissen selbst Mathematikstudenten dies nur erstaunlich selten; weil die Mathematik heute so riesig ist, kann man ja aber auch nicht mehr alles wissen.
Das erstaunt mich besonders, weil in Deinem Profil vermerkt ist, dass Du Schüler bist. Meiner Kenntnis nach lernt man im Mathematikunterricht Rechnen, aber nahezu kein Beweisen.
Da meiner Erfahrung nach diese recht speziellen Konzepte und Tatsachen nur wenigen bekannt sind, kam ich auf die Idee, Dir dies zu erläutern.

Ja, Ich muss gestehe, dass ich das wenige was ich in diesen Breich weiss, autodidatisch, aus eigenen Interesse, erwarb. Gibt auch erschreckend wenig Literatur dazu.

Richtig. Ich habe hoffentlich in keinem vorigen Beitrag das Gegenteil behauptet. Offenbar habe ich Dich missverstanden und daher angenommen, Du hättest bezweifelt, dass (U) unsicherer als (I) wäre. Jetzt verstehen wir uns vermutlich.

Was ich noch einbringen wollte, war die Stochastik als andere Methode zum beweis von (I).
Da sagte ich, dass die Menge der Beobachtungen die wir machten nicht repräsentativ ist, weil nicht zufällig gefällt,sondern "zeitlich determiniert" ist.

Diesen Gedanken zu disskutieren wäre wohl interessanter gewäsen.

[Hornblower]

DragoMuseveni: Gibt auch erschreckend wenig Literatur dazu.

Nur für den Fall des Interesses: "Gödel, Escher, Bach" ist ein unterhaltsamer Einstieg. "Einführung in die mathematische Logik" von Ebbinghaus, Flum, Thomas geht deutlich mehr ins Detail; es ist ein ganz gutes Buch abgesehen von dem unintuitiven Logikkalkül; aber ist es auch ziemlich trocken und fordert von einem Autodidakten viel Zähigkeit. Angenehmer zu lesen ist da "Einführung in die Mengenlehre" von Deiser. Jedem Logik-Interessierten empfehle ich vor allem "Gödel, Escher, Bach"; es enthält interessante Ideen, phantasievolle Ausschmückungen und Humor.

DragoMuseveni: Da sagte ich, dass die Menge der Beobachtungen die wir machten nicht repräsentativ ist, weil nicht zufällig gefällt,sondern "zeitlich determiniert" ist.

Durch astronomische Beobachtungen erhalten wir Informationen über das Universum zu sehr verschiedenen Zeiten.
Ferner haben Untersuchungen eines natürlichen Uranreaktors, der vor ca. 2 Milliarden Jahren aktiv war, ergeben, dass die Naturkonstanten sich seitdem nicht messbar verändert haben. In dem folgenden Artikel wird kurz über diesen natürlichen Uranreaktor berichtet, ohne dass allerdings auf die Naturkonstanten eingegangen wird:
Kernspaltung

[Floore]

Ich habe mal das Paper in Astro-ph zu dem Vortrag, von welchem ich berichtet habe, herausgesucht.

[gr-qc/0610034] Does PIONEER measure local spacetime expansion?

[DragoMuseveni]

Ich antworte jetzt mal, auch wenn schon einige Zeit vergangen ist.

Durch astronomische Beobachtungen erhalten wir Informationen über das Universum zu sehr verschiedenen Zeiten.
Ferner haben Untersuchungen eines natürlichen Uranreaktors, der vor ca. 2 Milliarden Jahren aktiv war, ergeben, dass die Naturkonstanten sich seitdem nicht messbar verändert haben. In dem folgenden Artikel wird kurz über diesen natürlichen Uranreaktor berichtet, ohne dass allerdings auf die Naturkonstanten eingegangen wird:
Kernspaltung

Unser Wissen über z.b. Die Verfallsrate von Uran verdanken wir wiederrum nur Beobachtungen in einen relativ kleinen Zeitraum.
Wir treiben das Problem, wenn wir auf solche Quellen verweisen, also nur eine Stufe "tiefer".


Allerdings ging das auch an den Kerneinwand vorbei. Dieser war ja, dass unsere Beobachtungen nichtzufällig ausgewählt sind, sondern (u.a.) zeitlich geordnet folgen, und wir deshalb möglicherweise keine repräsentativen Daten zu Beurteilung des ganzen Universums haben.
Wenn hier ein Denkfehler vorliegt, lasse ich mich gerne Korrigieren. Eine Lösung des Induktions-Problems mit den Mitteln der Statistik ist eine interessante Idee.

[Dejah]

Hallo,
ich hatte eben einen eigenen Thread dazu aufgemacht, wurde aber auf diesen hier hingewiesen.

Also, es sieht jetzt so aus, als gäbe es einen Ansatz einer Erklärung:

Die Originaldaten der Pioneer-Sonden werden derzeit neu ausgewertet. Außerdem erstellt eine Gruppe von Wissenschaftlern ein detailliertes Modell der Sonden, bei dem die Wärmeverteilung genau untersucht wird. Die Sonden haben ihre Elektrizität aus der von radioaktivem Plutonium erzeugten Wärme gewonnen. Die Wärme wurde laut Modell nicht in alle Richtungen gleich abgegeben, was laut einer ersten Rechnung 30 % der Anomalie erklären kann. Es bliebt abzuwarten, ob die vollständige Rechnung das Rätsel löst. Falls das tatsächlich der Fall ist, sind die Pioneer-Sonden nur noch "langweilige" Sonden, die aus dem Sonnensystem rausfliegen.

Schade eigentlich, oder?

[Floore]

Wie in dem Artikel gesagt, abwarten. Es würde mich wundern, wenn dabei tatsächlich was neues herauskommen würde, die technischen Daten dieser Sonden sind oft durchgegangen worden, nicht nur einmal.
Woher stammt das Zitat denn eigendlich?

[Dejah]

Woher stammt das Zitat denn eigendlich?

Das hat jemand bei der APS-Konferenz berichtet, einen Bericht über den Vortrag findet man z.B. hier
und hier.

edit: Das Zitat oben stammt aus meinem ersten Beitrag, aber ich wollte die Diskussion dann hierher verlegen.

[Bynaus]

Ich würde auch abwarten. 30%, das ist aber schon recht nahe, zumindest die gleiche Grössenordnung. Das sollte zumindest zu denken geben. Aber ich würde auch sagen, da ist noch nicht das letzte Wort gesprochen. Denn wenn das Team es nicht schafft, die restlichen 70% zu erklären, dann sind wir wieder gleich weit...