Vektorrechnung: n-dimensionales Objekt im R^m

[Apollo]

Problemstellung: Wie bestimmt man vektoriell ein n-dimensionales Objekt im m-dimensionalen Raum.

m = Anzahl der Dimensionen des Raums
n = Anzahl der Dimensionen des Objektes

m ist Element der natürlichen Zahlen > 0
n ist Element der natürlichen Zahlen < m


Hab es mal versucht (sorry wegen der schlechten Darstellung):

      /a1\        /b11\	    /b21\              /bn1\
x->= / a2 \ + µ1 / b12 \ + µ2 / b22 \ + ... + µn / bn2 \
     \ .. /      \ ... /      \ ... /            \ ... /
      \am/        \b1m/        \b2m/              \bnm/

Da der Raum mindestens eine Dimension mehr als das Objekt haben muss (wenn die Anzahl der Dimensionen gleich wäre, wäre das Objekt und der Raum identisch, wenn das Objekt mehr Dimensionen hätte als der Raum, wäre das Objekt nicht Element der Definitionsmenge des Raumes), braucht man zu erst einen Aufspannvektor (a->) um auf die Ebene zu kommen, und dann ein n-dimensionales Koordinatensystem auf dem Objekt (wird von den n Richtungsvektoren aufgespannt).

Ist die von mir angegebene Gleichung für x-> richtig?

[Noulder]

Wieso sollten Objekt und Raum für m=n identisch sein?

Dein PC ist ja auch nicht dein ganzer Raum und doch ist beides 3Dimmensional, es stehen nur andere Faktoren davor.

Ob das richtig ist, kann ich nicht sagen - das Thema habe ich so schnell wie möglich vergessen.

[Apollo]

Wieso sollten Objekt und Raum für m=n identisch sein?
Dein PC ist ja auch nicht dein ganzer Raum und doch ist beides 3Dimmensional, es stehen nur andere Faktoren davor.

Ich bin davon ausgegangen dass das Objekt eine unendliche Ausdehnung hat, in dem Fall wäre das Objekt bei gleicher Anzahl der Dimensionen mit dem Raum identisch.

[Spocky]

@ Apollo: Ich versteh jetzt nicht so ganz, wo dein Problem liegt. Deine Zeichnung macht mich irgendwie auch nicht schlauer. So, wie ich das sehe, ist doch auch eine Ebene im Raum genau das, was du suchst. Das ist ja nicht allzu schwer darzustellen. In dem Fall brauchst du ja nur einen Aufpunkt, also irgendeinen beliebigen Punkt, der auf der Ebene liegt und die Richtungsvektoren für die beiden Dimensionen der Ebene.

Für mehr Dimensionen brauchst du einfach dementsprechend mehr linear unabhängige Richtungsvektoren. Das dürfte alles sein.

Deine Gleichung x-> finde ich leider nicht...äh

[Apollo]

So, wie ich das sehe, ist doch auch eine Ebene im Raum genau das, was du suchst.

Eine Ebene im 3-dimensionalen Raum wäre eben ein 2-dimensionales Objekt im R^3. Die Gleichung dazu hätte dann einfach einen Aufspannvektor und 2 Richtungsvektoren. Mein Problem ist aber, das ich nicht eine Gleichung für ein 2-dimensionales Objekt im R^3 brauche, sondern eine allgemeine Gleichung für ein n-dimensionales Objekt im R^m.

[regina]

apollo

hi apollo, wie lebt es sich in rodgau. ich weiss das gehört hier nicht rein aber egal

[Spocky]

Original geschrieben von Apollo
Eine Ebene im 3-dimensionalen Raum wäre eben ein 2-dimensionales Objekt im R^3. Die Gleichung dazu hätte dann einfach einen Aufspannvektor und 2 Richtungsvektoren. Mein Problem ist aber, das ich nicht eine Gleichung für ein 2-dimensionales Objekt im R^3 brauche, sondern eine allgemeine Gleichung für ein n-dimensionales Objekt im R^m.

Eine allgemeine Gleichung dürfte schwierig werden, da du ja n+1 Glieder bräuchtest. Eines, das den Aufpunkt markiert und n um die Anzahl der Dimensionen abzudecken. Theoretisch sähe das vielleicht so aus:

X->(n1,n2,n3,...,nn)+&kappa;1*(&kappa;1-1,&kappa;1-2,...&kappa;1-n)+...+&kappa;n*(&kappa;n-1,&kappa;n-2,...,&kappa;n-n)

[Apollo]

Eine allgemeine Gleichung dürfte schwierig werden, da du ja n+1 Glieder bräuchtest. Eines, das den Aufpunkt markiert und n um die Anzahl der Dimensionen abzudecken. Theoretisch sähe das vielleicht so aus:
X->(n1,n2,n3,...,nn)+κ1*(κ1-1,κ1-2,...κ1-n)+...+κn*(κn-1,κn-2,...,κn-n)

Richtig, so in etwa hab ich es ja auch versucht, bin mir aber eben nicht ganz sicher ob es richtig ist:

      /a1\        /b11\	    /b21\              /bn1\
x->= / a2 \ + µ1 / b12 \ + µ2 / b22 \ + ... + µn / bn2 \
     \ .. /      \ ... /      \ ... /            \ ... /
      \am/        \b1m/        \b2m/              \bnm/

hi apollo, wie lebt es sich in rodgau. ich weiss das gehört hier nicht rein aber egal

Lol, ist super hier in Rodgau! Aber das gehört hier wirklich nicht rein.

[Bynaus]

Ich denke, du hast mit deiner Darstellung recht, Apollo, aber ich würde n < m nicht voraus setzen. Ein unendlich ausgedehntes Objekt in jede Richtung wäre dann zwar, wenn es n = m Dimensionen hat, tatsächlich identisch mit dem Raum - Na und? Jede Menge ist ihre eigene grösste Teilmenge, das ist kein Grund, n = m auszuschliessen.

[Apollo]

Ich denke, du hast mit deiner Darstellung recht, Apollo, aber ich würde n < m nicht voraus setzen. Ein unendlich ausgedehntes Objekt in jede Richtung wäre dann zwar, wenn es n = m Dimensionen hat, tatsächlich identisch mit dem Raum - Na und? Jede Menge ist ihre eigene grösste Teilmenge, das ist kein Grund, n = m auszuschliessen.

Hast schon recht, natürlich muss man das nicht ausschließen, aber für diese Topic war es imo sinnvoll. Für den Fall dass Objekt und Raum unendliche Ausdehnung und die gleiche Anzahl an Dimensionen haben, wäre x-> = 0->. Damit kann ich nichts anfangen.

[Spocky]

@ Apollo: Ah, jetzt hab ich auch deine Graphik gecheckt. Ja, ich denksind wir einer Meinung. Das stimmt so, wie dus geschrieben hast.