Definition praktischer/theoretischer n-Dimensionalität

[Apollo]

Die n-Dimensionalität kann man (imo) in die praktische und die theoretische unterteilen. Um zu verdeutlichen was ich damit meine folgen 2 Beispiele. Ein Zugstrecke ist theoretisch 3-dimensional, praktisch jedoch 1-dimensional. Ein Jump'n'Run Computerspiel (beispielsweise Keen) ist theoretisch 3-dimensional, praktisch jedoch 2-dimensional (ich meine das, was in dem Spiel dargestellt wird). In der Theorie gibt es offensichtlich nur die 3-dimensionalität (Ok, Bynaus würde mir widersprechen , das Universum ist definitiv nicht 3-dimensional), also... *überleg*... in der Theorie gibt es praktisch (wenn man das so sagen kann) nur die 3-dimensionalität. Die mir bekannte Definition der theoretischen n-Dimensionaltät ist folgende. Die Position eines 0-dimensionalen Punktes (ein unendlicher kleiner Punkt) in einem n-dimensionalen Objekt, muss mit n Koordinaten angegeben werden. Hier also meine Fragen: Kennt ihr noch eine andere Definition der theoretischen n-Dimensionalität, und kennt ihr vieleicht eine Definition der praktischen n-Dimensionalität (ich weiss, das düfte ziemlich schwierig sein).

[Lt. Cmdr Lin]

Hääääääähh??!?!?!??!?!
Was bitte?!?!???!?!?!?

Ich verstehe nur Bahnhof…

Am besten fasse ich mal kurz zusammen, was im Buch "Das elegante Universum - Superstrings, versteckte Dimensionen und die Such nach der ultimativen Theorie" von Dr. Brian Greene, Professor für theor. Mathematik und Physik an der Columbia Uni bei "Teil 3 - Die Kosmische Symphonie - Kapitel 8, Seite 183 Kaluza's Idee und Klein's Vefeinerung" steht, sonst wird's echt lang. ISBN 0-393-04688-5 Englische Originalausgabe.

Dimensionen sind nicht nur alltäglich bekannt (Länge, Breite, Höhe), sondern stellen ein wichtiges Werkzeug dar, um die Welt mathematisch, theoretisch zu erklären.

Fangen wir mit einem Beispiel an:

Man nehme einen Gartenschlauch und spanne sie über einen Canynon - betrachtet man die von etwa 500 m, kann man unschwer die ausgedehnte Länge des Schlauches erkennen, die sich von einem Ende zu anderen des Canynon erstreckt. Doch, wenn man nicht gerade einen unheimlich Sehschärfe besitzt, die Dicke des Schlauches wird nur schwerlich zu erkennen sein.
Wenn man sich weiterhin vostellt, das eine Ameise darauf beschränkt sei, auf dem Schlauch zu leben, dann bekäme man den Eindruck, das es nur eine Dimension besäße, wo es sich bewegen könnte: die Link-Rechts Dimension entlang des Schlauches. Wenn jemand dich danach fragen würde, wo sich die Ameise zur Zeit befindet, dann bräuchte man auch nur einen Teil an Information zu geben: nämlich die Distanz vom Linken (oder Rechten) Ende des Schlauches, an der sich die Ameise befindet.
In Wirklickeit wissen wir aber, das der Schlauch eine Dicke besitzt, obwohl man Schwierigkeit hat, es von einem halben Kilometer zu erkennen, doch mit Hilfe von einem Fernglas können wir den Schlauch vergrößern und direkt den Umfang sehen, auf der sich die Ameise bewegt und lebt. Es hat somit zwei unabhängig Richtungen, in der es sich bewegen kann: entlang der Links-Rechts Dimension und entlang des kreisförmigen Umfangs in der "Uhrzeigersinn-Gegenuhrzeigersinn-Dimension". Wenn man jetzt angeben möchte, wo sich die Ameise zu jeder gegebenen Zeit sich befindet, muß man 2 Informationen angeben: wo sich die Ameise entlang der Länge des Schlauches befindet und wo entlang des kreisförmigen Umfangs, das somit das Faktum reflektiert, das der Gartenschlauch 2-Dimensional ist.

Das führt uns zu der Erkenntnis, das es einen klare Unterscheidung zwischen 2 Dimensionen gibt: die längliche Ausdehnung des Schlauches, die leichter zu erkennen ist und den aufgerollten Umfang des Schlauches, das erst mit größerer Auflösung zu erkennen ist.

Der Physiker Kaluza hatte in einer Briefkorrespondenz mit Einstein die höheren Dimension postuliert, worauf es hinausläuft, daß das Universum 3 ausgedehnte Dimensionen besitzt und das wir durch die höhere, aufgerolllte 4 Dimension im jedem Punkt des Universums nicht erkennen, da wir nicht die Auflösung besitzen, aber dazu später.

Um die 3-Dimesion zu erklären, bediente sich Dr. Greene ein Bespiel aus dem sogenannten "Linienland" auf dem Gartenschlauch, wo es 1-dimensional Strichlebenwesen gibt, die dort existieren. Unser Körper, wie wir ihn kennen, kann nicht in dieser Dimension passen, egal wie wir ihn formen würden, da wir 3 Dimensionen haben: Länge, Breite, Höhe. Es müßte sich als eine Längenausdehnung verformen, um in diese Welt zu passen. Sähe man direkt ins "Gesicht" des Strichlebewesens, sähe man nur einen Punkt als Auge und würde man die andere Seite des Körper sehen wolen, könnten man dies auch nicht, da dieser Strichkörper den Weg blockiert, um die andere Seite zu schau'n. Um dies zu tun, müßte man den Schlauch aufpumpen, womit es nun möglich ist, den gesamten Körpers des Strichlebenwesens zu sehen, da man die Dimension erweitert hat.
Man bewegt sich nicht nur mehr von links nach rechts, von oben nach unten, sondern auch auf und ab in der Tiefe, die durch das Aufblasen des Schlauches ermöglicht wurde. Die wäre unsere bekannte 3te-Dimension. Die 4te Raum-Dimension, so nach Kaluza, wäre für uns klein und aufgerollen.

Durch Quantenmechanismen hat man festgestellt, das man mehrere Dimensionen braucht um die Welt zu beschreiben. Die Superstring Theorie besagt, das die Welt auf Strings aufgebaut sind und die unterschiedliche Schwingung der Strings die Art des Teilchens beschreibt. Und für jede Art Schwingung eine bestimmte Dimension. Mathematisch beschrieben sind 11 Dimensionen mit einer Zeit Dimension.

Aber am besten lies' das Buch, ich habe auch lange nicht darin geschmöckert, das ich das meiste vergessen habe, es einfach und unterhaltend geschrieben. Es gibt im Buch eine Passage über das Wurmloch und DS9 .

Lt. Cmdr Lin

[Bynaus]

Ich würde es so formulieren: die einzige Dimensionalität, die "zählt", ist die theoretische, denn was praktisch ist und was nicht, ist von der Sichtweise (des Menschen) abhängig, und die zählt nicht.

Die theoretische Dimensionalität wird (geometrisch) über die minimale Anzahl der Vektoren definiert, die mindestens nötig sind, um einen Punkt zu rekonstruieren. Wenn ein Vektor genügt, dann liegen alle Punkte in diesem Raum auf einer Gerade, und der Raum ist eindimensional. Wenn zwei Vektoren genügen, so liegen die Punkte in dem Raum auf einer Fläche, usw. Es ist aber unmöglich, mit zwei Vektoren, die eine Fläche aufspannen, einen Punkt zu erreichen, der ausserhalb der Fläche ist, daher diese Definition. Soweit die Mathematik.

[Spocky]

Original geschrieben von Lt. Cmdr Lin
[BDurch Quantenmechanismen hat man festgestellt, das man mehrere Dimensionen braucht um die Welt zu beschreiben. Die Superstring Theorie besagt, das die Welt auf Strings aufgebaut sind und die unterschiedliche Schwingung der Strings die Art des Teilchens beschreibt. Und für jede Art Schwingung eine bestimmte Dimension. Mathematisch beschrieben sind 11 Dimensionen mit einer Zeit Dimension.
[/B]

Womit wir wieder bei praktisch und theoretisch wären. Theoretisch muss es diese höheren Dimensionen geben, da man sonst die fundamentalen Kräfte nicht vereinigen kann. Praktisch ergibt sich aber folgendes Problem: Die Kräfte sind zu schwach für mehr als 3 Raumdimensionen.

Es ist ja so:
Breitet sich etwas in einer Dimension aus, so breitet es sich punktförmig aus und wird immer gleich stark bleiben, egal wie weit es sich von der Quelle entfernt.
Breitet sich etwas in 2 Dimensionen aus, so breitet es sich kreisförmig aus, wobei der Umfang des Kreises größer wird, je weiter er sich von der Quelle entfernt. Der Bereich, auf den sich die Energie verteilen muss, wird immer größer, also nimmt die Energie/Punkt ab, je weiter man von der Quelle entfernt ist.
Breitet sich etwas in 3 Dimensionen aus, so bildet es sich kugelförmig aus. Die Oberfläche einer Kugel ist 2D, daher wird die Energie im bezug auf die Entfernung im Quadrat geringer. Das ist auch das, was man messen kann.
Bei 4 Dimensionen wäre es schon x³, mit der die Energie abnähme.
Die Gravitation würde allerdings dann nicht mehr ausreichen, um die Planeten in der Bahn zu halten, die Elektronen würden nicht mehr um die Kerne schweben usw.

Man geht daher davon aus, dass die zusätzlichen Dimensionen, bzw die einzelnen Strings keine Energie zu den nächsten Strings weiterleiten.

[Apollo]

@Bynaus: Unabhängig davon ob es wirklich nützlich ist, könnte man imo möglicherweise doch eine Definition für die praktische n-Dimensionalität finden, sie würde jedoch wahrscheinlich relativ lang und komplex sein. Deiner Aussage zufolge besteht das Problem darin, dass es von der Sichtweise des Beobachters abhängig ist, es ist also relativ. Es gibt aber auch Definitionen für Wörter wie "groß", "schnell" usw, obwohl das auch von der Sichtweise des Beobachters abhängig ist. Dem zu folge schließt das von dir genannte Problem das Finden einer Definition der praktischen n-Dimensionalität nicht aus.

[Bynaus]

Ich schliesse die Definition einer praktischen Dimensionalität nicht aus. Ich spreche einer solchen Definition nur jede universelle Bedeutung ab, das heisst, sie kann nicht in Naturgesetzen berücksichtigt werden.

Du erwähnst ja auch das Wort "Gross". Genau so wie man keine aus den Naturwissenschaften ableitbare Definition für Gross finden kann, kann man auch keine aus den Naturwissenschaften ableitbare Definition für "praktische Dimension" finden.

Die praktische Dimensionalität würde sich dann darauf beschränken, dass nur die Dimensionen gezählt werden, die der Mensch intuitiv erkennen kann. Das wäre ok, aber sicher kein Naturgesetz.

[Apollo]

Ich stimme dir vollkommen zu. Ich habe auch keine für die Naturwissenschaften relevante Deifinition verlangt/erwartet, sondern eben eine für die Naturwissenschaften Irrelevante. (hab mich vieleicht nicht präzise genug ausgedrückt)

[Spocky]

Das Problem mit den n-Dimensionen und der Praktikabilität ist ja, dass die meisten Naturgesetze in n Dimensionen gar nicht funktionieren. U.a. aus dem Grund, den ich oben schon genannt hab.

[Apollo]

@Spocky: Das was du da sagst hat nichts mit der praktischen, sondern mit der theoretischen n-Dimensionalität zu tun. Da ich mir nicht sicher bin ob du verstanden hast was ich mit "praktischer n-Dimensionalität" meine, hier noch mal ein Zitat (von weiter oben):

Ein Zugstrecke ist theoretisch 3-dimensional, praktisch jedoch 1-dimensional.

Oder hab ich dein Posting jetzt missverstanden?

[Spocky]

Original geschrieben von Apollo

Oder hab ich dein Posting jetzt missverstanden?

Ich hab ja nicht direkt auf dein Eingangsposting, sondern auf eines danach geantwortet, aber selbst eine Zugstrecke ist 3dimensional. Es geht über Berge und um Kurven. Außerdem läuft der Zug nicht perfekt in den Schienen, sondern "wackelt" hin und her. Ich weiß aber, was du sagen wolltest. Genähert ist es nur eine Dimension. Allerdings können wir uns praktisch nur dreidimensional bewegen und nicht eindimensional, egal wie wir uns anstrengen...

[Apollo]

Allerdings können wir uns praktisch nur dreidimensional bewegen und nicht eindimensional, egal wie wir uns anstrengen...

Ich meine eben doch, das sich Menschen praktisch 1-dimensional bewegen können, selbstverständlich keinesfalls theoretisch. Um meine Meinung zu verdeutlichen, noch ein Beispiel: A läuft einen Weg entlang (100 m lang, 2 m breit). B kontaktiert A und fragt nach seiner Position. A wird nur seine Position auf der Länge sagen, die auf der Breite jedoch mit Sicherheit nicht (seine Höhe sowieso nicht). Daher ist für praktische Zwecke in diesem Fall (genauso wie im Beispiel mit dem Zug) die 2. und die 3. Dimension irrelevat, woraus folgt dass man sagen kann, dass sich A praktisch 1-dimensional bewegt.

[Spocky]

Original geschrieben von Apollo
Ich meine eben doch, das sich Menschen praktisch 1-dimensional bewegen können, selbstverständlich keinesfalls theoretisch. Um meine Meinung zu verdeutlichen, noch ein Beispiel: A läuft einen Weg entlang (100 m lang, 2 m breit). B kontaktiert A und fragt nach seiner Position. A wird nur seine Position auf der Länge sagen, die auf der Breite jedoch mit Sicherheit nicht (seine Höhe sowieso nicht). Daher ist für praktische Zwecke in diesem Fall (genauso wie im Beispiel mit dem Zug) die 2. und die 3. Dimension irrelevat, woraus folgt dass man sagen kann, dass sich A praktisch 1-dimensional bewegt.

Klar wird er die Position nicht genau angeben. Aber das wird er noch nicht mal auf einem Fußballplatz tun. "Er stand 20 m in der Hälfte des Gegners". Sowas hört man relativ oft. Aber keiner sagt, er stand 30 m von der linken Auslinie. Vereinfacht gesehen hat er Recht, wobei mit vereinfacht das gemeint ist, was du als praktisch bezeichnest. Genaugenommen hat er aber Unrecht, weil er die Position nicht in allen Dimensionen angibt.
Vereinfacht können wir uns in einer Dimension fortbewegen. Praktisch - und das ist jetzt ein anderes "praktisch", als zuvor, soll heißen "in der Praxis" können wir das aber nicht. Das verhindert schon die Unschärferelation, die, wenn man bis ins kleinste genau, mit all unseren Atomen und v.a. Elektronen, wie es also fürs Beamen von Nöten wäre, auch für makroskopische Körper von Gültigkeit ist. Da das aber nicht praktikabel ist (und da steckt jetzt wieder dein "praktisch" drin), ist das aber auch vernachlässigbar.