Frage zu VWL-Aufgabe

[Gast]

Hallo, es gibt ein Problem mit folgender VWL-Aufgabe:

Gegeben sei im Zwei-Güter-Fall die folgende Nutzen- und Budgetfunktion eines Haushaltes:

U(x1,x2) = x1^1/3 * x2^2/3

Y = x1 + 2*x2

für x1 >= 0; x2 >= 0

a)...

b) Welche Güterkombination wird der Haushalt optimal realisieren, wenn er 30 Geldeinheiten ausgeben möchte.

Normalerweise muss man ja einfach 30 für Y einsetzen, also:

30 = x1 + 2*x2

Diese Formel dann nach einer der beiden Unbekannten auflösen, also wahlweise:

x1 = 30 - 2x2

oder

x2 = 15 - 1/2*x1

Wenn man eine der beiden dann aber wieder in eine der anderen Formeln einsetzt kommt stets 0 = 0 heraus. Das Ergebenis sollte aber für x1 und x2 jeweils 10 sein.

Bin ich jetzt zu blöd eine einfach Gleichung aufzulösen, oder gibt's da einen Geheimtrick?

[Dax]

Lagrange-Ansatz:

Nebenbedingung umformen:
30 - x1 - 2x2 = 0

Lagrangegleichung aufstellen:
L = x1^1/3 * x2^2/3 + λ * (30 - x1 - 2x2)

Dann nach jeder Variable ableiten und gleich null setzen:
1. Lx1 = 1/3 * x1^-2/3 * x2^2/3 - λ = 0
2. Lx2 = 2/3 * x1^1/3 * x2^-1/3 - 2λ = 0
3. Lλ = 30 - x1 - 2x2 = 0

Lx1: λ = 1/3 * x1^-2/3 * x2^2/3
Lx2: λ = (2/3 * x1^1/3 * x2^-1/3)/2

Gleichsetzen, auflösen, in die dritte Gleichung einsetzen und dann solltest du es haben. Und ich übernehme keine Garantie gegen Tippfehler

[HMS Fearless]

Nur so aus Neugier:
Wofür steht VWL?

[Largo]

x1 = 30 - 2x2 einsetzen in U(x1,x2) = x1^1/3 * x2^2/3
dann gesamten Ausdruck um 3 potentieren (um die hässlichen 1/3 und 2/3 wegzubekommen):
U^3 = (30 - 2x) * x^2
das dann ausmultiplizieren, erste Ableitung bilden, dann erhälst du: U^2 = x^2 - 10x
Nullstellen berechnen: 10 kommt raus

[Makrovirus]

Nur so aus Neugier:
Wofür steht VWL?

Volkswirtschaftslehre. In dem Beispiel versucht man den Nutzen von Investitionen in irgendwelche Formeln zu packen und dann die Aufteilung des Geldes auf die beiden verfügbaren Investitionen zu berechnen, die insgesamt den größten Nutzen bringt.

[Gast]

@Dax
Das Lagrange-Verfahren soll nicht angewandt werden.

U^3 = (30 - 2x) * x^2
das dann ausmultiplizieren, erste Ableitung bilden, dann erhälst du: U^2 = x^2 - 10x
Nullstellen berechnen: 10 kommt raus

Diesen Schritt kann ich noch nicht ganz nachvollziehen.

Ausmultipliziert ergiebt das doch: U³ = 30x² - 2x³
Erste Ableitung: 3U² = 60x - 6x²
Gekürzt: U² = 20x - 2x²

[Largo]

U² = 20x - 2x²

Das müsstest Du jetzt noch in die klassische Form einer quadratischen Funktion umwandeln. Die sieht so aus: f(x) = ax² + bx + c. Um die Nullstellen zu berechnen muss man vorher f(x) null setzen und a wegmachen, d.h. alles durch a dividieren (in Deinem Fall -2). Dann wie gehabt Nullstellen berechnen.

[Dax]

@Dax
Das Lagrange-Verfahren soll nicht angewandt werden.

Dann sag das doch
Bei uns wollten sie das immer haben.

[Makrovirus]

@SF-Junky

Der Sinn hinter der Sache mit der Ableitung, die Largo in seinen letzten Posts beschrieben hat, ist folgender. Nach dem Einsetzen deiner Nebenbedingung in die Nutzenfunktion hast du eine Funktion, die dir den Nutzen in Abhängigkeit vom Investierten Geld in eine der beiden Investitionsmöglichkeiten gibt. Jetzt willst du wissen, an welcher Stelle (also bei welchem Einsatz) der maximale Nutzen ist. Und an Extremwerten (Maximum, Minimum) ist die Steigung =0, da die Kurve ja erst ansteigt, dann waagrecht wird wird und wieder abfällt (oder umgekehrt). Genau diese Stelle suchst du. Also berechnest du die Ableitung (=Steigung) deiner Nutzenfunktion, setzt diese =0 und berechnest die Nullstellen, also die x-Werte, an denen dieses Maximum/Minimum ist.

Dann sag das doch
Bei uns wollten sie das immer haben.

Vermutlich wollen sie die noch nicht abschrecken. Ich hatte das Lagrange-Verfahren zwar nur in Mathe, musste damit also nie irgendwas sinnvolles machen, aber je nach Aufgabenstellung fand ich das damals irgendwie nervig.

[Gast]

Dann sag das doch

Ich wusste es selbst nicht bis zu deinem Post, das ist nämlich keine Aufgabe von mir, sondern von meiner Freundin.

@Largo
Ja, jetzt wird das ganze klar. Vielen Dank für die Hilfe.

Oh mann, und ich will den ganzen Kram auch noch studieren...